前缀和
当遇到一个这样的情景，需要你求一个数组aaa中ala_lal~ara_rar，但是又不止一次询问，所以需要用O(N)O(N)O(N)的时间复杂度求出，就可以用到前缀和。
一维前缀和
顾名思义，对于数组aaa求出的一维前缀和数组sss中的第iii位表示的就是从数组aaa的第一位一直到第iii位的元素和，此时有：
si=si−1+ai
s_i=s_{i-1}+a_i
si=si−1+ai
同时也有：
s区间和=sr−sl−1
s_{区间和}=s_r-s_{l-1}
s区间和=sr−sl−1
这些蒟蒻都会。
二维前缀和
这是对于一个二维的矩形块求其中一块的面积。
可以看上面这个表格，是的就是他没错了。
当我们知晓大长方形的面积，需要求小长方形\color{red}小长方形小长方形，可以看出：
S=S总−S−S−S
\color{red}S=\color{black}S_总-\color{orange}S-\color{blue}S-\color{green}S
S=S总−S−S−S
但是我们不知道S\color{orange}SS和S\color{blue}SS，所以可以考虑变形：
S=S总−(S+S)−(S+S)+S
\color{red}S=\color{black}S_总-(\color{orange}S+\color{green}S\color{black})-(\color{blue}S+\color{green}S\color{black})+\color{green}S
S=S总−(S+S)−(S+S)+S
虽然对色盲有些不友好
S+S\color{orange}S+\color{green}SS+S和S+S\color{blue}S+\color{green}SS+S还有S\color{green}SS我们都知道，所以S\color{red}SS也可以求出了。同理，也可以反推出S总S_总S总。
最终有：
si,j=si−1,j+si,j−1−si−1,j−1+ai,j
s_{i,j}=s_{i-1,j}+s_{i,j-1}-s_{i-1,j-1}+a_{i,j}
si,j=si−1,j+si,j−1−si−1,j−1+ai,j
推广有（区域和为顶点坐标分别为lll，rrr，qqq，ppp的矩形）：
s区域和=sl,r−sq−1,r−sl,p−1+sq−1,p−1
s_{区域和}=s_{l,r}-s_{q-1,r}-s_{l,p-1}+s_{q-1,p-1}
s区域和=sl,r−sq−1,r−sl,p−1+sq−1,p−1
这个大多数人也会。
那么……
三维前缀和
对于一个立方体，从中间扣一块出来问你它的体积。
在已知前缀和的情况下，可以简化问题为：
- 求一个立方体一个角块的体积。
一个正方体，如上图，六个面分别为s1…6s_{1\ldots6}s1…6。
六面的平面图如下：
先删除绿色的部分。
接着删掉蓝色的部分，此时粉色的部分表示重叠部分。
再次删除黄色的部分，粉色部分表示重叠一次，紫色部分表示重叠两次。
所以，不难得知结论。
设V\color{green}VV与V\color{blue}VV的重合部分为V1\color{pink}V_1V1，V\color{green}VV与V\color{orange}VV的重合部分为V2\color{pink}V_2V2，V\color{orange}VV与V\color{blue}VV的重合部分为V3\color{pink}V_3V3）,三者重合为V\color{purple}VV，以立体图中为准，有：
V=V总−(V+V+V−V1−V2−V3)−V
\color{red}V\color{black}=V_总-(\color{green}V\color{black}+\color{blue}V\color{black}+\color{orange}V\color{black}-\color{pink}V_1\color{black}-\color{pink}V_2\color{black}-\color{pink}V_3\color{black})-\color{purple}V
V=V总−(V+V+V−V1−V2−V3)−V
化简为：
V=V总−V−V−V+V1+V2+V3−V
\color{red}V\color{black}=V_总-\color{green}V\color{black}-\color{blue}V\color{black}-\color{orange}V\color{black}+\color{pink}V_1\color{black}+\color{pink}V_2\color{black}+\color{pink}V_3\color{black}-\color{purple}V
V=V总−V−V−V+V1+V2+V3−V
最终得出：
Vi,j,k=Vi−1,j−1,k−1+Vi−1,j,k+Vi,j−1,k+Vi,k,k−1−Vi−1,j−1,k−Vi−1,j,k−1−Vi,j−1,k−1+ai,j,k
V_{i,j,k}=V_{i-1,j-1,k-1}+V_{i-1,j,k}+V_{i,j-1,k}+V_{i,k,k-1}-V_{i-1,j-1,k}-V_{i-1,j,k-1}-V_{i,j-1,k-1}+a_{i,j,k}
Vi,j,k=Vi−1,j−1,k−1+Vi−1,j,k+Vi,j−1,k+Vi,k,k−1−Vi−1,j−1,k−Vi−1,j,k−1−Vi,j−1,k−1+ai,j,k
推广为（一个对角顶点坐标分别是iii，jjj，kkk，uuu，vvv，www）：
V区块体积=Vi,j,k−Vu−1,j,k−Vi,v−1,k−Vi,j,w−1+Vu−1,v−1,k+Vu−1,j,w−1+Vi,v−1,w−1−Vu−1,v−1,w−1
V_{区块体积}=V_{i,j,k}-V_{u-1,j,k}-V_{i,v-1,k}-V_{i,j,w-1}+V_{u-1,v-1,k}+V_{u-1,j,w-1}+V_{i,v-1,w-1}-V_{u-1,v-1,w-1}
V区块体积=Vi,j,k−Vu−1,j,k−Vi,v−1,k−Vi,j,w−1+Vu−1,v−1,k+Vu−1,j,w−1+Vi,v−1,w−1−Vu−1,v−1,w−1
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