前缀和(1~3维)

前缀和

当遇到一个这样的情景，需要你求一个数组$a$中$a_l$~$a_r$，但是又不止一次询问，所以需要用$O(N)$的时间复杂度求出，就可以用到前缀和。

一维前缀和

顾名思义，对于数组$a$求出的一维前缀和数组$s$中的第$i$位表示的就是从数组$a$的第一位一直到第$i$位的元素和，此时有：
$$s_i=s_{i-1}+a_i$$
同时也有：
$$s_{区间和}=s_r-s_{l-1}$$
这些蒟蒻都会。

二维前缀和

这是对于一个二维的矩形块求其中一块的面积。

可以看上面这个表格，是的就是他没错了。
当我们知晓大长方形的面积，需要求$小长方形$，可以看出：
$$S=S_{总}-S-S-S$$
但是我们不知道$S$和$S$，所以可以考虑变形：
$$S=S_{总}-(S+S)-(S+S)+S$$
虽然对色盲有些不友好
$S+S$和$S+S$还有$S$我们都知道，所以$S$也可以求出了。同理，也可以反推出$S_{总}$。
最终有：
$$s_{i,j}=s_{i-1,j}+s_{i,j-1}-s_{i-1,j-1}+a_{i,j}$$
推广有（区域和为顶点坐标分别为$l$，$r$，$q$，$p$的矩形）：
$$s_{区域和}=s_{l,r}-s_{q-1,r}-s_{l,p-1}+s_{q-1,p-1}$$
这个大多数人也会。
那么……

三维前缀和

对于一个立方体，从中间扣一块出来问你它的体积。
在已知前缀和的情况下，可以简化问题为：

• 求一个立方体一个角块的体积。

一个正方体，如上图，六个面分别为$s_{1\dots 6}$。
六面的平面图如下：

先删除绿色的部分。


接着删掉蓝色的部分，此时粉色的部分表示重叠部分。


再次删除黄色的部分，粉色部分表示重叠一次，紫色部分表示重叠两次。


所以，不难得知结论。
设$V$与$V$的重合部分为$V_1$，$V$与$V$的重合部分为$V_2$，$V$与$V$的重合部分为$V_3$）,三者重合为$V$，以立体图中为准，有：
$$V=V_{总}-(V+V+V-V_1-V_2-V_3)-V$$
化简为：
$$V=V_{总}-V-V-V+V_1+V_2+V_3-V$$
最终得出：
$$V_{i,j,k}=V_{i-1,j-1,k-1}+V_{i-1,j,k}+V_{i,j-1,k}+V_{i,k,k-1}-V_{i-1,j-1,k}-V_{i-1,j,k-1}-V_{i,j-1,k-1}+a_{i,j,k}$$
推广为（一个对角顶点坐标分别是$i$，$j$，$k$，$u$，$v$，$w$）：
$$V_{区块体积}=V_{i,j,k}-V_{u-1,j,k}-V_{i,v-1,k}-V_{i,j,w-1}+V_{u-1,v-1,k}+V_{u-1,j,w-1}+V_{i,v-1,w-1}-V_{u-1,v-1,w-1}$$