康拓展开补充：逆康拓展开

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前置知识：康拓展开
逆康拓展开可以求解$1$ ~ $n$的全排列中，字典序第$x$个的排列。

逆康拓展开

比如，在$1$ ~ $5$的全排列当中，要求按字典序第$107$的排列。
因为在康拓展开时，单调递增的序列算出的结果是$0$，所以要将原数减一。
首先先让$x/$$(n-1)!$，也就是$106/(5-1)!=106/4!=106/24=4\dots \dots 10$，那么就算出有$4$个值比第一个值小，所以第一个值就是$5$。
接着把上次剩下的余数拿来继续除$10/(4-1)!=10/3!=10/6=1\dots \dots 4$,只有一个数比第二个值小，那么第二个值就是$2$。
下一次，$4/(3-1)!=4/2!=4/2=2$，有两个数比第三个值小，那么第三个值就是$4$,这时候$2$已经被排过了，现在还没有排的元素是$1$，$3$，$4$，故第三大的是$4$。
接着，$0/(2-1)!=0/1=0$，那就是当前没拍过的元素中第$1$大，所以是$1$。
最后就只剩一个$3$，那么最后排完就是$52413$
思想就是康拓展开公式的逆用。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int read(){
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}
void print(int x){
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x<10){putchar(x+'0');return;}
	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int n,k;
int a[N];
int f[N]={1};
signed main(){
	n=read(),k=read()-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=i,f[i]=f[i-1]*i;
	string s="";
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int t=k/f[n-i];
		print(a[t+1]),putchar(' ');
		for(int i=t+1;i<=n;i++)a[i]=a[i+1];
		k%=f[n-i];
	}
}

或者也可以用动态数组。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int read(){
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}
void print(int x){
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x<10){putchar(x+'0');return;}
	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int n,k;
vector<int>a;
int f[N]={1};
signed main(){
	n=read(),k=read()-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)a.push_back(i),f[i]=f[i-1]*i;
	string s="";
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int t=k/f[n-i];
		print(a[t]),putchar(' ');
		a.erase(a.begin()+t);
		k%=f[n-i];
	}
}

例题

Cow Line S
这是一道康拓展开加逆康拓展开的板子题。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e6+5;
int n,m,k;
vector<int>a;
int g[N];
int f[N]={1};
int bit[N];
void update(int x,int p){
	while(x<=n){
		bit[x]+=p;
		x+=x&-x;
	}
}
int query(int x){
	int res=0;
	while(x){
		res+=bit[x];
		x-=x&-x;
	}
	return res;
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=f[i-1]*i;
	while(m--){
		char op;
		cin>>op;
		if(op=='P'){
			cin>>k;
			k--;
			string s="";
			for(int i=1;i<=n;i++)a.push_back(i);
			for(int i=1;i<=n;i++){
				int t=k/f[n-i];
				cout<<a[t]<<' ';
				a.erase(a.begin()+t);
				k%=f[n-i];
			}
			cout<<'\n';
		}
		else{
			for(int i=1;i<=n;i++)cin>>g[n-i+1];
			int ans=0;
			for(int i=1;i<=n;i++){
				int res=query(g[i]-1);
				ans+=f[i-1]*res;
				update(g[i],1);
			}
			cout<<ans+1<<'\n';
			for(int i=1;i<=n;i++)update(g[i],-1);//记得清空树状数组
		}
	}
}