【洛谷P1082】同余方程【扩欧】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P1082
求关于$x$的同余方程$ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$的最小正整数解。

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思路：

数论是真的差，现在才来补$qwq$。
我先把原式改写为等式的形式。
$$ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$$
$$ax-by=1$$
然后设$x^{\prime }{y}^{\prime }$为方程$b{x}^{\prime }-(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)y^{\prime }=1$的一组解。
即为$b{x}^{\prime }-y^{\prime }(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor )$的一组解。
统一格式为
$$a{y}^{\prime }-b(x^{\prime }-\frac{y^{\prime }a}{b})$$
那么代入$x=y,y=x^{\prime }-\frac{y^{\prime }a}{b}$即可。
因为$gcd(x,0)=x$，当$b=0$时，必然有$a=1$。此时该方程的解为$x=1,y=0$。
然后往上回溯求解即可。
最终我们可以得到该方程的一组解$(x,y)$，由于要求$x$尽量小且大于0，我们发现为了满足$ax+by=1$，$\Delta ax$必然等于$\Delta by$，那么同时要满足$x,y$均为整数，所以需要找到一组合法的$(x^{\prime },y^{\prime })$使得$a(x\pm x^{\prime })=b(y\pm y^{\prime })$。
所以$\Delta ax$和$\Delta by$最小等于$lcm(a,b)$。所以$\Delta x$每次最小为$\frac{b}{lcm(a,b)}$。
那么就让$x$不停加减$\frac{b}{lcm(a,b)}$，知道$x$为最小的正整数解为止。其实不断加减就是进行一次取模运算即可。

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代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define mp make_pair
#define st first
#define nd second
using namespace std;

int a,b;

pair<int,int> exgcd(int a,int b)
{
	if (b)
	{
		pair<int,int> x=exgcd(b,a%b);
		return mp(x.nd,x.st-x.nd*(a/b));
	}
	return mp(1,0);
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&a,&b);
	int x=exgcd(a,b).first,y=b/__gcd(a,b);
	printf("%d",(x%y+y)%y);
	return 0;
}