【OI】同余方程

最新推荐文章于 2025-01-22 17:12:40 发布

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本文深入解析了同余方程的判定与解法，通过具体实例展示了同余方程的求解过程，并引入扩展欧几里得算法（EXGCD）来求解线性同余方程，提供了详细的算法实现代码。

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一.同余方程的判定

我们知道同余方程是形如

ax ≡ b (mod n) 的东西,用文字表达就是：

ax和b除以n的余数相同

那么，经过如下推理：（用=代替恒等于）

ax=b (mod n)

ax=b+n*x2 （转化为b加上n乘上某个数等于ax）

ax-n*x2=b（移项得）

a x1 + n x2 = b（转换）

ax + ny = b

但是为了看起来更顺眼，我们将除x，y的元素改变名称，得到：

ax + by = c

那么，判断是否有解：

举几个例子，不难得到：

c|gcd(a,b)时，ax + by = c有解。

然后可以举几个例子：

①2x + 3y = 1

这是一种特殊情况，解得其中一个解为 x0 = -1, y0 = 1

②4x + 6y = 2

化简为 2x + 3y = 1，解同上

③2x + 3y = 5

解得其中一个解为 x0 = -5, y0 = 5

发现与①的规律，也就是x0 * 5,y0 * 5

那么就可以将ax + by = c 简化为ax + by = 1 ,

换种形式表达就是：ax ≡ 1 （mod n)

二.同余方程的解法

这时，我们需要引入exgcd。

exgcd可以用来求

ax + by = gcd (a,b)

那么，如何证明呢？

先给出结果：

{

要解 ax + by = 1

先解 bx + (a%b)y = 1

}

如何得到它？

在 bx + (a%b)y = 1 中展开a，得到

a = b·floor(a/b) + a%b

代入原方程，得

b·floor(a/b) + a%b)x + by = 1

与ax + by = 1等量代换，得

(a%b)*x + b(floor(a/b)·x+y) = 1

得到其中解：y0 = x,x0 = floor(a/b)·x+y

又由gcd(a,b) = gcd(b,a%b) 得到

exgcd(a,b,x,y) = exgcd(b,a%b,y,x), y -= (a/b) * x

代码：

#include <cstdio>
void exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (b == 0) x = 1, y = 0;
    else exgcd(b, a % b, y, x), y -= (a / b) * x;
}
int main()
{
    int a = 2, b = 3, x, y;
    exgcd(a, b, x, y);
    printf("%d %d\n", x, y);
    return 0;
}

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