同余方程——详解

定义

同余方程

对正整数  和一元整系数多项式 ，其中未知数 ，称形如

的方程为关于未知数  的模  的一元 同余方程（Congruence Equation）。

若 ，则称上式为  次同余方程。

类似可定义同余方程组。

关于一次同余方程与方程组的相关内容请参见 线性同余方程 与 中国剩余定理。

本文首先研究同余方程的可解性和解集结构，之后会简要介绍高次同余方程的解法。

由 中国剩余定理 可知，求解关于模合数  的同余方程可转化为求解模素数幂次的情况。故以下只介绍素数幂模同余方程和素数模同余方程的相关理论。

素数幂模同余方程

以下假设模数 .

注意到若  是方程

的解，则  是方程

的解，这启发我们尝试通过较低的模幂次的解去构造较高的模幂次的解。我们有如下定理：

定理 1

对素数  和整数 ，取整系数多项式 ，令  为其导数。令  为方程

的解，则：

1. 若 , 则存在整数  使得

   是方程

   的解。

2. 若  且 , 则对 ，由式  确定的  均为方程  的解。

3. 若  且 , 则不能由式  构造方程  的解。

证明

我们假设式  是方程  的解，即

整理后可得

于是

1. 若 ，则关于  的方程  有唯一解 ，代入式  可验证其为方程  的解。
2. 若  且 ，则任意  均能使方程  成立，代入式  可验证其均为方程  的解。
3. 若  且 ，则方程  无解，从而不能由式  构造方程  的解。

进而我们有推论：

推论 1

对 定理 1 的 ，，，，

1. 若  是方程  的解，且 ，则存在 ， 使得  是方程  的解。
2. 若方程  与  无公共解，则方程  和方程  的解数相同。

从而我们可以将素数幂模同余方程化归到素数模同余方程的情况。

素数模同余方程

以下令 ，整系数多项式 ，其中 ，.

定理 2

若方程

有  个不同的解 ，则：

其中  且 .

证明

对  应用数学归纳法。

• 当  时，做多项式带余除法，有 ，其中 .

  由  可知 ，从而 .

• 假设命题对 () 时的情况成立，现在设  有  个不同的解 , 则 , 进而有

  从而  有  个不同的解 , 由归纳假设有

  其中  且 .

  因此命题得证。

推论 2

对素数 ，

• （Wilson 定理）

定理 3（Lagrange 定理）

方程  至多有  个不同解。

证明

假设  有  个不同解 ，则由 定理 2，对  有

令 , 则

而右侧显然不是  的倍数，因此假设矛盾。

推论 3

若同余方程  的解数大于 ，则

定理 4

方程  若解的个数不为 ，则必存在满足  的整系数多项式  使得  和  的解集相同。

证明

不妨设 ，对  做多项式带余除法

其中 .

由 Fermat 小定理 知对任意整数  有 ，从而

• 若 ，则由 推论 2 可知  有  个不同的解。
• 若 ，则由  可知  和  的解集相同。

我们可以通过这个定理对同余方程降次。

定理 5

设 ，则方程

有  个解当且仅当存在整系数多项式 ， 使得

证明

• 必要性：由多项式除法知存在整系数多项式 ， 使得

  若方程  有  个解，则  也有  个相同的解，进而由 推论 3 可知存在整系数多项式  满足 ，从而命题得证。

• 充分性：若式  成立，则由 Fermat 小定理 可知，对任意整数 ,

  即方程  有  个解。

  设方程  的解数为 ，则由 Lagrange 定理 可知 .

  又由于 ，则由 Lagrange 定理 可知  的解数不超过 ，而方程  的解集是  解集和  解集的并集，故 ，有 .

  因此 .

对于非首 1 多项式，由于  是域，故可以将其化为首 1 多项式，从而适用该定理。

定理 6

设 ，, 则方程

有解当且仅当

且若  有解，则解数为 .

Note

方程  解集的具体结构可参见 k 次剩余。

证明

• 必要性：若方程  有解 ，则

• 充分性：若 ，则

  其中  是某个整系数多项式，因此由 定理 5 可知方程  有  个解。

高次同余方程（组）的求解方法

首先我们可以借助 中国剩余定理 将求解 同余方程组 转为求解 同余方程，以及将求解模 合数  的同余方程转化为求解模 素数幂次 的同余方程。之后我们借助 定理 1 将求解模 素数幂次 的同余方程转化为求解模 素数 的同余方程。

结合模素数同余方程的若干定理，我们只需考虑方程

的求法，其中  是素数，.

我们可以通过将  代换为  来消去  项，从而我们只需考虑方程

的求法，其中  是素数，.

• 若 ，则求法参见 线性同余方程。
• 若 ，则求法参见 二次剩余。

• 若方程  可化为

  则求法参见 k 次剩余。

参考资料

1. Congruence Equation -- from Wolfram MathWorld
2. Lagrange's theorem (number theory) - Wikipedia
3. 潘承洞，潘承彪。初等数论。
4. 冯克勤。初等数论及其应用。
5. 闵嗣鹤，严士健。初等数论。