【洛谷P1415】拆分数列【dp】

最新推荐文章于 2025-05-20 03:26:57 发布

stoorz1023

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本文解析洛谷P1415题目，探讨如何通过动态规划求解最优解，实现添加逗号使数字串分割成严格递增序列。文章详细介绍了使用f[i]和g[i]数组寻找最小和最大值解的策略，以及如何处理前导0的问题。

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1415
给出一列数字，需要你添加任意多个逗号将其拆成若干个严格递增的数。如果有多组解，则输出使得最后一个数最小的同时，字典序最大的解（即先要满足最后一个数最小；如果有多组解，则使得第一个数尽量大；如果仍有多组解，则使得第二个数尽量大，依次类推……）。

思路：

由于要先把最后一位尽量小，考虑先求出最后一位的最小答案。
设 $f [i]$ 表示在满足前 $i$ 位的划分单调递增时，以第 $i$ 位为末，且这一次的划分的值尽量小的时候划分的首位。
简单来说，就是找到一个 $j$ 满足在 $j$ 开始划分可以满足单调递增且 $\overline{j\sim i}$ 尽量小的方案数。
显然只需要让 $j$ 尽量大就可以了。就倒序枚举 $j$ ，如果 $\overline{f[j-1]\sim j-1}<\overline{j\sim i}$ 就让 $f [i] = j$
其中 $\overline{x\sim y}$ 可以预处理搞定。
接下来求出满足前面尽量大的答案。
设 $g [i]$ 表示在满足后 $i$ 位的划分满足单调递增时，以第 $i$ 位为首，且这一次的划分的值尽量大的时候划分的末位。
显然初始化 $d [f [n]] = n$
推方程思路和 $f$ 基本一样。
注意处理前导0。可以用 $s u m [x] [y]$ 表示 $\overline{x\sim y}$ 的前导0个数。
这样的时间复杂度就是 $O(n^3)$ 的。实际上跑起来会小得多。

代码：

#include <cstdio>
#include <string>
#include <iostream>
using namespace std;

const int N=510;
int n,a[N],f[N],g[N],sum[N][N];
string t[N][N];

bool check(int S1,int T1,int S2,int T2)
{
	if (T1-S1-sum[S1][T1]<T2-S2-sum[S2][T2]) return 1;
	if (T1-S1-sum[S1][T1]>T2-S2-sum[S2][T2]) return 0;
	string s1=t[S1+sum[S1][T1]][T1],s2=t[S2+sum[S2][T2]][T2];
	for (int i=0;i<min(s1.size(),s2.size());i++)
	{
		if (s1[i]<s2[i]) return 1;
		if (s1[i]>s2[i]) return 0;
	}
	return 0;
}

void dp1()
{
	f[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
		for (int j=i;j>=1;j--)
			if (check(f[j-1],j-1,j,i))
			{
				f[i]=j;
				break;
			}
}

void dp2()
{
	g[f[n]]=n;
	int k=0;
	for (int i=f[n]-1;!a[i]&&i;i--) g[i]=n,k++;
	for (int i=f[n]-1-k;i>=1;i--)
		for (int j=f[n]-1;j>=i;j--)
			if (check(i,j,j+1,g[j+1]))
			{
				g[i]=j;
				break;
			}
	int i;
}

int main()
{
	while (scanf("%1d",&a[++n])==1)
		for (int i=1;i<=n;i++)
		{
			t[i][n]=t[i][n-1]+(char)(a[n]+48);
			if (sum[i][n-1]==max(n-i,0)&&!a[n]) sum[i][n]=sum[i][n-1]+1;
				else sum[i][n]=sum[i][n-1];
		}
	n--;
	dp1();
	dp2();
	int j=g[1];
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		printf("%d",a[i]);
		if (i==j&&i!=n)
		{
			j=g[i+1];
			putchar(',');
		}
	}
	return 0;
}