【洛谷P2216】理想的正方形【单调队列】

最新推荐文章于 2023-12-31 12:30:20 发布

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本文介绍了一种高效算法解决寻找特定大小子矩阵中元素最大最小值差最小的问题。利用单调队列预处理矩阵，实现O(nm)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2216
有一个 $n\times m$ 的整数组成的矩阵，现请你从中找出一个 $k\times k$ 的正方形区域，使得该区域所有数中的最大值和最小值的差最小。

思路：

朴素的想法是直接暴力枚举区间，然后枚举其中的每一位。时间复杂度 $O(nm\times k^2)$ 。
另一种思路是预处理所有边长为 $k$ 的矩形中的最值。时间复杂度 $O(nm\times k)$ 。
然而这两种方法都过不了。
$n,m\leq 1000,k\leq 100$ ，显然是要一种 $O (n m)$ 的方法。
考虑单调队列。
先用单调队列处理出 $h m a x [i] [j]$ 和 $h m i n [i] [j]$ ，表示第 $i$ 行第 $j\sim j+k-1$ 个数的最值。显然是可以 $O (n m)$ 搞的。
然后再用一次单调队列处理出 $l m a x [i] [j]$ 和 $l m i n [i] [j]$ 但是这里表示的是第 $i$ 列 $max/min\{hmax[i][j...j+k-1]/hmin[i][j...j+k-1]\}$ 。
最后枚举区间，直接用 $l m a x [i] [j] - l m i n [i] [j]$ 来更新答案就好了。

似乎还可以用 $S T$ 表去做，时间复杂度 $O(nm\times log\ k)$ 。

代码：

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N=1010;
int n,m,k,a[N][N],hmax[N][N],hmin[N][N],lmax[N][N],lmin[N][N],ans;
deque<int> qmax,qmin;

int main()
{
	memset(hmin,0x3f3f3f3f,sizeof(hmin));
	memset(lmin,0x3f3f3f3f,sizeof(lmin));
	memset(hmax,0xcf,sizeof(hmax));
	memset(lmax,0xcf,sizeof(lmax));
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=m;j++)
			scanf("%d",&a[i][j]);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=1;j<=m;j++)
		{
			while (qmax.size()&&qmax.front()<j-k+1) qmax.pop_front();
			while (qmax.size()&&a[i][qmax.back()]<a[i][j]) qmax.pop_back();
			qmax.push_back(j);
			if (j>=k) hmax[i][j-k+1]=max(hmax[i][j-k+1],a[i][qmax.front()]);  //单调队列常规操作
			
			while (qmin.size()&&qmin.front()<j-k+1) qmin.pop_front();
			while (qmin.size()&&a[i][qmin.back()]>a[i][j]) qmin.pop_back();
			qmin.push_back(j);
			if (j>=k) hmin[i][j-k+1]=min(hmin[i][j-k+1],a[i][qmin.front()]);
		}
		while (qmax.size()) qmax.pop_back();
		while (qmin.size()) qmin.pop_back();
	}
	for (int j=1;j<=m-k+1;j++)
	{
		for (int i=1;i<=n;i++)
		{
			while (qmax.size()&&qmax.front()<i-k+1) qmax.pop_front();
			while (qmax.size()&&hmax[qmax.back()][j]<hmax[i][j]) qmax.pop_back();
			qmax.push_back(i);
			if (i>=k) lmax[i-k+1][j]=max(lmax[i-k+1][j],hmax[qmax.front()][j]);
			
			while (qmin.size()&&qmin.front()<i-k+1) qmin.pop_front();
			while (qmin.size()&&hmin[qmin.back()][j]>hmin[i][j]) qmin.pop_back();
			qmin.push_back(i);
			if (i>=k) lmin[i-k+1][j]=min(lmin[i-k+1][j],hmin[qmin.front()][j]);
		}
		while (qmax.size()) qmax.pop_back();
		while (qmin.size()) qmin.pop_back();
	}
	ans=2147483647;
	for (int i=1;i<=n-k+1;i++)
		for (int j=1;j<=m-k+1;j++)
			ans=min(ans,lmax[i][j]-lmin[i][j]);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}