【JZOJ4231】寻找神格【分块】

题目大意：

一个长度为$n$的数列，要求支持$4$个操作：

1. $0xy$,表示将位置$x$的数字增加$y$。
2. $1xyz$，表示$[x,y)$中的数字全部加$z$。
3. $2xy$，表示询问$x\sim y$之间的数字和。
4. $3xy$，表示询问$x\sim y$之间的数字方差。

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思路：

$n\le 100000$，考虑分块。（个人感觉分块比线段树好打）。
对于$2$操作，很明显是需要在每个块内维护块内和。所以用$sum[i]$表示块$i$中的数字和。
对于$3$操作，考虑将方差用完全平方公式拆开。
$$\frac{1}{n}[(x1-ave{)}^2+(x2-ave{)}^2+...+(xn-ave{)}^2]$$
先不考虑$\frac{1}{n}$。
$$(x1-ave{)}^2+(x2-ave{)}^2+...+(xn-ave{)}^2$$
拆开得
$$(x{1}^2-2\times x1\times ave)+(x{2}^2+2\times x2\times ave)+...+(x{n}^2+2\times xn\times ave)$$
去括号+整理得
$$x{1}^2+x{2}^2+...+x{n}^2+2ave\times x1+2ave\times x2+...2ave\times xn+av{e}^2+av{e}^2+...+av{e}^2$$

整理得
$$x{1}^2+x{2}^2+...+x{n}^2+2ave(x1+x2+...+xn)+n\times av{e}^2$$
将$sum=x1+x2+...+xn$带入得
$$x{1}^2+x{2}^2+...+x{n}^2+2\times ave\times sum+n\times av{e}^2$$
那么就再维护每个块的平方和就可以在$O(\sqrt{n})$内求出答案了。
维护倒是不难，熟用完全平方公式$+$注意细节即可。

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代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;

const int N=100010;
const int M=350;
int n,Q,T,L[M],R[M],pos[N];
ll ans[M],add[M],sum[M],a[N],Read,f,x,y,z;
char ch;

ll read()
{
	Read=0;
	f=1;
	ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9')
	{
		if (ch=='-') f=-f;
		ch=getchar();
	}
	while (ch>='0'&&ch<='9')
		Read=(Read<<3)+(Read<<1)+ch-48,ch=getchar();
	return Read*f;
}

void change(int l,int r,ll z)  //修改
{
	int q=pos[l],p=pos[r];
	if (q==p)  //一个块暴力修改
	{
		for (register int i=l;i<=r;i++)
			ans[q]+=2*(a[i]+add[q])*z+z*z,a[i]+=z,sum[q]+=z;
		return;
	}
	for (register int i=l;i<=R[q];i++)
		ans[q]+=2*(a[i]+add[q])*z+z*z,a[i]+=z,sum[q]+=z;
	for (register int i=L[p];i<=r;i++)  //分开
		ans[p]+=2*(a[i]+add[p])*z+z*z,a[i]+=z,sum[p]+=z;
	for (register int i=q+1;i<p;i++)  //lazy修改
		add[i]+=z,ans[i]+=2*sum[i]*z+z*z*(R[i]-L[i]+1),sum[i]+=z*(R[i]-L[i]+1);
}

ll ask1(int l,int r)  //询问和
{
	int q=pos[l],p=pos[r];
	ll s=0;
	if (q==p)
	{
		for (register int i=l;i<=r;i++) s+=(ll)(a[i]+add[q]);  //暴力求和
		return s;
	}
	for (register int i=l;i<=R[q];i++) s+=(ll)(a[i]+add[q]);
	for (register int i=L[p];i<=r;i++) s+=(ll)(a[i]+add[p]);
	for (register int i=q+1;i<p;i++) s+=sum[i];
	return s;
}

ld ask2(int l,int r)  //询问方差
{
	int q=pos[l],p=pos[r];
	ll Ans=0,Sum=0;
	if (q==p)
	{
		for (register int i=l;i<=r;i++)  //暴力
			Sum+=a[i]+add[q];
		ld Ave=(ld)Sum/(ld)(r-l+1),s=0.0;
		for (register int i=l;i<=r;i++)
			s+=((ld)a[i]+(ld)add[q]-Ave)*((ld)a[i]+(ld)add[q]-Ave);
		return (ld)s/(ld)(r-l+1);
	}
	for (register int i=l;i<=R[q];i++)  //左边
	{
		Ans+=(a[i]+add[q])*(a[i]+add[q]);
		Sum+=a[i]+add[q];
	}
	for (register int i=L[p];i<=r;i++)  //右边
	{
		Ans+=(a[i]+add[p])*(a[i]+add[p]);
		Sum+=a[i]+add[p];
	}
	for (register int i=q+1;i<p;i++)  //中间直接利用lazy
	{
		Ans+=ans[i];
		Sum+=sum[i];
	}
	ld Ave=(ld)Sum/(ld)(r-l+1);
	return ((ld)Ans-2.0*(ld)Sum*Ave+(ld)(r-l+1)*Ave*Ave)/(ld)(r-l+1);
	//完全平方公式输出
}

int main()
{ 
	n=read(),Q=read();
	for (register int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=read();
	T=sqrt(n);
	if (T*T<n) T++;
	for (register int i=1;i<=T;i++)
	{
		L[i]=R[i-1]+1;
		R[i]=min(i*T,n);
		for (register int j=L[i];j<=R[i];j++)
		{
			pos[j]=i;
			ans[i]+=a[j]*a[j];
			sum[i]+=a[j];
		}
	}
	while (Q--)
	{
		x=read();
		if (x==0)
		{
			x=read(),y=read();
			change(x,x,y);
		}
		else if (x==1)
		{
			x=read(),y=read(),z=read();
			change(x,y,z);
		}
		else if (x==2)
		{
			x=read(),y=read();
			printf("%lld\n",ask1(x,y));
		}
		else if (x==3)
		{
			x=read(),y=read();
			printf("%0.10Lf\n",ask2(x,y));
		}
		
	}
	return 0;
}