【JZOJ4714】公约数【数论，数学】

最新推荐文章于 2019-12-13 21:43:36 发布

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#JZOJ #SSLOJ #数论 #数学

本文探讨了一个独特的数学问题，即在给定范围内寻找满足特定条件的无序数对(a,b)，其中条件为两数的最大公约数等于两数的异或运算结果。通过巧妙的数学证明和算法设计，文章提出了一种有效的枚举方法来解决这一问题。

题目大意：

题目链接：https://jzoj.net/senior/#main/show/4714
题目图片：
http://wx4.sinaimg.cn/mw690/0060lm7Tly1fwp1egqfr7j30j70gkglv.jpg
给定一个正整数 $n$ ，求在 $[1, n]$ 的范围内，有多少个无序数对 $(a, b)$ 满足 $gcd(a,b)=a\ xor\ b$ 。

思路：

令 $c=gcd(a,b)=a\ xor\ b$ ，证明满足 $gcd(a,b)=a\ xor\ b$ 必有 $a−c=a\ xor\ c$
$证明过程$
还是比较好理解的。同学写了证明过程↑，可以直接进去。
所以就枚举 $c$ ，由于 $c$ 是 $a$ 的一个因数（ $g c d (a, b) = c$ 中可以得出），所以再枚举 $c k = a$ 然后判断即可。

代码：

#include <cstdio>
#define R register
using namespace std;

int n,sum;

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (R int c=1;c<=n;c++)
	 for (R int i=2;c*i<=n;i++)
	 {
	 	int a=c*i;
	 	if (a-c==(a^c)) sum++;
	 }
	printf("%d\n",sum);
	return 0;
}