【洛谷P1025】【JZOJ5195】数的划分【DP】

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原创最新推荐文章于 2026-05-06 08:24:56 发布 295 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

P5195 [USACO05DEC]Knights of Ni S 这个题就是状态想好就行，每个状态除了横纵坐标，还包括一维，也就是这时手里有没有灌木，所以总的时间应该是1000×1000×2，是可以过的，9分钟把这个题过了，确实只是一道绿题的难度，然后就是一点我一直看不懂的地方，就是看题目的时候，说什么40的，如果大于40怎么怎么样，我看了看题解的输入，没有什么不同，就下手去写了，这个题目的输入样例解释是真的有问题，知识点：广度优先搜索。阅读详情

题目大意：

题目链接：
洛谷：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1025
JZOJ：https://jzoj.net/senior/#main/show/5195
将 $n$ 个弹珠分成 $k$ 份，且每份不能为空，任意两个方案不相同（不考虑顺序）。

思路：

我们先来讨论一下放的方法。
为了使任意两份互不相同，那么就让第一份的珠子数量 $\geq$ 第二份珠子的数量 $\geq...\geq$ 第 $k$ 分珠子的数量。这样可以保证不会出现相同的方案（例如 $2, 3, 4$ 和 $2, 4, 3$ 就是相同的方案，其中至少一个会不符合要求）。
很容易想到用 $f [i] [j]$ 表示已经将 $i$ 个珠子分成 $j$ 分的方案数。为了保证 $s_1\geq s_2\geq...\geq s_k$ ，那么就有两种方程：

下一个格子（第 $i$ 个格子）放入一个珠子。由于前面的每一份都至少有一个珠子，并且保证 $s_1\geq s_2\geq...\geq s_{i-1}$ ，所以在下一份放入一个珠子也是可以保证 $s_1\geq s_2\geq...\geq s_{i}$ 的。所以就有 $f [i] [j] = f [i - 1] [j - 1]$
前面的每一个格子都多放一个珠子。由于本来就有 $s_1\geq s_2\geq...\geq s_{i}$ ，那么也就必然有 $s_1+1\geq s_2+1\geq...\geq s_{i-1}+1\geq s_i$ 。那么方程就是 $f [i] [j] = f [i - j] [j]$

所以综合起来就是
$f [i] [j] = f [i - 1] [j - 1] + f [i - j] [j]$

代码：

洛谷：

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
int f[201][201],n,m;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
     f[i][1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
     for (int j=2;j<=i;j++)
      f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
    printf("%d\n",f[n][m]);
    return 0;
}

JZOJ:

#include <cstdio>
#define N 5100
#define MOD 998244353
using namespace std;
int f[N][N],n,m;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
     f[i][1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
     for (int j=2;j<=i;j++)
      f[i][j]=(f[i-1][j-1]+f[i-j][j])%MOD;
    printf("%d\n",f[n][m]);
    return 0;
}