[概率期望]TheSwaps

最新推荐文章于 2022-03-28 19:37:46 发布

原创最新推荐文章于 2022-03-28 19:37:46 发布 · 333 阅读

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探讨了通过k次随机交换整数字符串中数字位置后，各位置数字期望值的计算方法。利用概率论原理，给出了计算每一轮交换后数字保持不变的概率公式，并最终求得每个位置数字的期望值。

题目描述

Alice得到了一个整数，她将其视作长度为n的字符串S。为了好玩，她进行了k次如下操作：
1) 随机选取两个不同的位置x和y（即每次操作， {

分析

显然的概率期望
$ans=\sum_{i=1}^n 每位期望值\times 每位被选出的概率$
第i位被求出的概率为 $\frac{i\times(n-i+1)}{n\times(n+1)/2}$
那么k次交换后期望值为？
我们设q次交换后第i位数位仍等于初始数位的概率，那么有：
$q=q\times(1-\frac{n-1}{n\times(n-1)/2})+\frac{1-q}{n\times(n-1)/2}$
然后有性质：如果第i位不为ai，那么第i位是a中其他任何数的概率都是一样的。
因此如果k次交换后，第i位为ai的概率是x。
那么第i位的期望值为 $ai\times x+\frac{sum-ai}{n-1}\times(1-x)$ 。
为了满足题目的基本精度要求，我只输出了七位小数

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define rep(i,a,b) for (i=a;i<=b;i++)
double ans;
char s[1000001];
int n,k,a[1000001],sum;
using namespace std;
int main() {
    int i;
    scanf("%s",&s);
    n=strlen(s);
    scanf("%d",&k);
    rep(i,0,n-1) a[i+1]=s[i]-'0',sum+=a[i+1];
    double x=1.0;
    rep(i,1,k) x=x*(1.0-(n-1.0)*2.0/(n*(n-1.0)))+(1.0-x)*2.0/(n*(n-1.0));
    rep(i,1,n) ans+=((double)a[i]*x+(double)(sum-a[i])/(double)(n-1.0)*(1.0-x))*((double)i*(n-i+1.0)*2.0/(double)(n*(n+1.0)));
    printf("%.7lf",ans);
}