数论--线性求逆元&线性求阶乘逆元

本文介绍了一种在线性时间内求解阶乘及其逆元的方法,并提供了完整的C++代码实现。该方法利用快速幂运算求得阶乘的逆元,适用于组合数学问题中频繁出现的模意义下除法操作。

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线性求逆元

https://blog.youkuaiyun.com/qq_34564984/article/details/52292502

线性求阶乘逆元

const int mod = 1e9 + 7;
ll fac[maxn];//fac[i]表示i!
ll inv[maxn];//inv[i]表示i!的逆元

ll qk_mod(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll ans = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

void init()
{
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1;i < maxn;i ++) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    inv[maxn - 1] = qk_mod(fac[maxn - 1],mod - 2,mod);
    for(int i = maxn - 2;i >= 1;i --) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}

 

&lt;think&gt;首先,用户的问题是:&ldquo;我想了解逆元的定义及其在数学或编程中的应用 请问逆元的定义及其在数学和编程中的应用场景&rdquo;。我需要基于系统级指令和用户可见层的要来回答。 系统级指令: 1. 所有行内数学表达式必须使用 `$...$` 格式。 2. 独立公式必须使用 `$$...$$` 格式并单独成段。 3. LaTeX 语法正确。 4. 使用中文回答。 5. 生成相关问题。 6. 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识,例如 `[^1]`。 用户可见层: - 回答结构清晰,帮助用户逐步解决问题。 - 尽量保证回答真实可靠。 - 参考站内引用(提供的引用内容)。 提供的引用内容: - [^1]:逆元的定义、用处和简单法。 - [^2]:线性求逆元及其过程。 - [^3]:逆元的意义及其法,特别是在组合数学中的应用。 - [^4]:逆元与组合数学的应用。 - [^5]:逆元在模运算中的法。 我的回答结构: 1. **定义逆元**:解释逆元是什么,使用数学表达式。 2. **应用场景**:讨论在数学和编程中的应用。 3. **求逆元的方法**:简要介绍常见法,如扩展欧几里得算法、费马小定理、线性求逆元。 4. **生成相关问题**:在最后添加相关问题部分。 确保使用中文回答,并正确格式化数学表达式。 关键点: - 逆元定义:在模运算中,如果 \( a \times b \equiv 1 \pmod{m} \),则 \( b \) 是 \( a \) 模 \( m \) 的逆元- 应用:在模除法中,避免分数;在组合数学中计算组合数;在密码学、算法设计等。 - 法:引用中提到简单法、线性求逆元等。 步骤: 1. **开头**:直接回答问题,定义逆元。 2. **主体**: - 定义:使用数学表达式。 - 数学应用:如模运算中的除法。 - 编程应用:在算法中处理模运算,如动态规划、组合计算。 - 法:简要介绍方法,参考引用。 3. **结尾**:总结并生成相关问题。 4. **引用**:在相关部分添加引用标识,如 `[^1]`。 数学表达式: - 行内:如 `$a \times b \equiv 1 \pmod{m}$` - 独立:如定义公式。 相关问题: - 基于主题生成3-5个问题,如求逆元的方法、优化、具体应用等。 最终回答结构: - 引言:逆元概述。 - 定义部分。 - 应用部分:数学和编程。 - 法部分。 - 相关问题。&lt;/think&gt;### 逆元的定义及其在数学和编程中的应用场景 逆元数论和模运算中的一个核心概念,它在数学和编程中扮演着重要角色。下面我将逐步解释逆元的定义、应用场景以及法,确保内容清晰可靠。回答中会使用数学表达式:行内公式用 `$...$` 格式(如 `$x^2$`),独立公式用 `$$...$$` 格式并单独成段。所有内容基于可靠数学理论,并参考站内引用资料。 #### 1. **逆元的定义** 逆元是指在模运算下,一个数关于某个模数的&ldquo;倒数&rdquo;。具体来说,给定整数 \(a\) 和模数 \(m\)(其中 \(m &gt; 1\) 且 \(a\) 与 \(m\) 互质),如果存在整数 \(b\) 使得: $$ a \times b \equiv 1 \pmod{m} $$ 则称 \(b\) 是 \(a\) 在模 \(m\) 意义下的逆元,记作 $\operatorname{inv}(a, m)$ 或 $a^{-1}$。简单来说,逆元允许我们将模除法转化为模乘法,这在处理模运算时非常有用。例如,当 $a=5$ 且 $m=3$ 时,$5 \times 2 = 10 \equiv 1 \pmod{3}$,因此 $2$ 是 $5$ 在模 $3$ 下的逆元[^1]。 #### 2. **逆元在数学中的应用** 逆元的主要应用是解决模运算中的除法问题,因为模运算不支持直接除法(即 $\frac{a}{b} \not\equiv \frac{a \mod m}{b \mod m} \pmod{m}$)。通过逆元,我们可以将除法转换为乘法: $$ \frac{a}{b} \equiv a \times \operatorname{inv}(b, m) \pmod{m} $$ 这在多个数学领域有广泛应用: - **组合数学**:计算组合数 $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 时,当 $n$ 和 $k$ 较大时,直接计算会溢出。使用逆元可以在模 $p$ 下高效计算组合数,避免分数问题[^3][^4]。 - **解线性同余方程**:在密码学和编码理论中,逆元用于解形如 $ax \equiv c \pmod{m}$ 的方程[^1]。 - **代数结构**:在群论和环论中,逆元是定义可逆元素的基础,例如在模 $m$ 的乘法群中[^5]。 #### 3. **逆元在编程中的应用** 在编程中,逆元常用于算法设计和优化,尤其是在需要高效模运算的场景: - **动态规划和组合计算**:在计算大数组合数时(如动态规划中的状态转移),使用逆元避免除法。例如,在模 $p$ 下计算 $C(n, k)$,代码中会先预计算阶乘逆元[^3][^4]。 - **算法优化**:在数论算法中,如快速幂或扩展欧几里得算法,逆元用于加速模乘法和模除法。例如,在线性同余方程组时[^1][^2]。 - **密码学**:在 RSA 加密或椭圆曲线密码中,逆元用于密钥生成和签名验证,确保计算在有限域内高效进行[^5]。 - **性能提升**:编程中常用线性求逆元方法(时间复杂度 $O(n)$),以优化大规模计算。例如,在预处理阶段计算 $1$ 到 $n$ 的逆元数组: ```python # Python 示例:线性求逆元(模 MOD) def linear_inv(n, MOD): inv = [0] * (n+1) inv[1] = 1 for i in range(2, n+1): inv[i] = MOD - (MOD // i) * inv[MOD % i] % MOD return inv ``` 这种方法基于递推公式 $\operatorname{inv}(i) = -\left\lfloor \frac{m}{i} \right\rfloor \cdot \operatorname{inv}(m \mod i) \pmod{m}$,适用于模数为质数的情况[^2]。 #### 4. **求逆元的常见方法** 求逆元有多种方法,选择取决于模数 $m$ 和上下文: - **扩展欧几里得算法**:解 $ax + my = 1$ 的解 $x$,即为 $a$ 的逆元。时间复杂度 $O(\log m)$,适用于任意互质 $a$ 和 $m$[^1][^5]。 - **费马小定理**:当 $m$ 为质数时,$a^{m-2} \equiv \operatorname{inv}(a, m) \pmod{m}$,可通过快速幂实现[^3]。 - **线性求逆元**:如上述代码,通过递推批量计算逆元,高效用于组合数学问题[^2][^4]。 #### 总结 逆元是模运算中的关键工具,它解决了模除法问题,并在数学(如组合数学)和编程(如算法优化)中广泛应用。核心思想是将除法转为乘法,公式为 $\frac{a}{b} \equiv a \times \operatorname{inv}(b, m) \pmod{m}$。掌握逆元能提升数论问题的处理效率,尤其在涉及大数模运算的场景[^1][^3][^5]。
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