OpenCV 笔记(35)：频域低通滤波——高斯低通滤波器、巴特沃斯低通滤波器

1.  高斯低通滤波器

高斯低通滤波器（GLPF）是一种具有平滑频域特性、较慢衰减速度和良好截止频率附近衰减效果的滤波器。在图像处理中有着广泛的应用。

高斯低通滤波器的传播函数有如下的形式：

其中，D(u,v) 表示中心点到频域中心的距离，即 ，

是关于中心分离度的测度。令 ，则：

其中， 是截止频率，控制着滤波器的截止范围。

当 时，高斯低通滤波器下降到它最大值的 0.607 处。

值越大，允许通过的频率越高，滤波效果越弱； 值越小，允许通过的频率越低，滤波效果越强。

高斯低通滤波器具有以下特性：

• 平滑的频率响应： GLPF 的频率响应曲线呈高斯形状，在截止频率附近平滑衰减，在截止频率以上迅速衰减至零。这种平滑的频率响应使得 GLPF 能够有效地去除高频噪声而又不失真低频信号。

• 良好的边缘保持能力： 由于 GLPF 的频率响应在截止频率附近比较平滑，因此它不会对图像的边缘造成明显的振铃效应，从而能够较好地保持图像的边缘细节。

• 可控的截止频率： GLPF 的截止频率可以通过调整高斯函数的方差来控制，从而可以根据不同的应用需求来选择合适的截止频率。

下面的例子，展示了高斯低通滤波器的实现代码

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core.hpp>
#include <opencv2/highgui.hpp>
#include <random>

using namespace std;
using namespace cv;

void addSaltNoise(Mat &src, int num, Mat &dst)
{
    dst = src.clone();

    // 随机数产生器
    std::random_device rd; //种子
    std::mt19937 gen(rd()); // 随机数引擎

    auto rows = src.rows; // 行数
    auto cols = src.cols * src.channels();

    for (int i = 0; i < num; i++)
    {
        auto row = static_cast<int>(gen() % rows);
        auto col = static_cast<int>(gen() % cols);

        auto p = dst.ptr<uchar>(row);
        p[col++] = 255;
        p[col++] = 255;
        p[col] = 255;
    }
}

// 高斯低通滤波核函数
cv::Mat gaussian_low_pass_kernel(cv::Mat scr, float sigma)
{
    cv::Mat gaussianBlur(scr.size(), CV_32FC1);
    float d0 = sigma;
    for (int i = 0; i < scr.rows; i++) {
        for (int j = 0; j < scr.cols; j++) {
            float d = pow(float(i - scr.rows / 2), 2) + pow(float(j - scr.cols / 2), 2);//分子,计算pow必须为float型
            gaussianBlur.at<float>(i, j) = expf(-d / (2 * d0*d0));
        }
    }
    return gaussianBlur;
}

// fft 变换后进行频谱中心化
void fftshift(cv::Mat &plane0, cv::Mat &plane1)
{
    int cx = plane0.cols / 2;
    int cy = plane0.rows / 2;
    cv::Mat q0_r(plane0, cv::Rect(0, 0, cx, cy));  // 元素坐标表示为(cx, cy)
    cv::Mat q1_r(p