HDU - 5584-LCM Walk (gcd应用)

题目链接:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5584

题目大意:
在一个无限大的棋盘上,若起点为 (x,y) ,则人每次可以选择向上走或者向右走,长度为 lcm(x,y) , 即走到 (x+lcm(x,y),y) 或者 (x,y+lcm(x,y)) ,给定一个终点的坐标,求可以走到此处的合法起点有多少个

分析:

lcm(x,y)=xygcd(x,y)

由于 x=pgcd(x,y),y=qgcd(x,y) 所以 lcm(x,y)=pqgcd(x,y) ,每次加上一个 gcd(x,y) 后,两坐标的gcd值不改变

根据此性质,我们可以列出方程,若向右走,则有

{x+lcm(x,y)=ay=b

代入可得

x+xb/gcd(x,y)=ax=a1+bgcd(x,y)

由于之前推得 gcd(x,y)=gcd(a,b)
已知落点为 (a,b) ,可以推得两种之前一步的位置,当 gcd(x,y)gcd(a,b) 或者 x<1 y<1 时,即为退出条件,因此直接dfs即可

类似gcd,由于每一次 x 或者y都会减小为之前的 11+bgcd(x,y)12 ,所以这至多是一个指数级的递归深度,况且实际上远小于 log2n ,所以可以放心dfs

代码:

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int x,y,g;

int dfs(int x,int y)
{
    if (x<=0||y<=0||__gcd(x,y)!=g)
        return 0;
    int res = 1;
    int a = y/g+1 , b = x/g+1;
    if (x%a==0)
        res += dfs(x/a,y);
    if (y%b==0)
        res += dfs(x,y/b);
    return res;
}

int main()
{
    int T,t=1;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        g = __gcd(x,y);
        printf("Case #%d: %d\n",t++,dfs(x,y));
    }
    return 0;
}
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