Hdu 2841 - Visible Trees（容斥）

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本文解析了HDU ACM题库中编号为2841的数树问题，通过数学分析和算法实现，介绍了如何计算在特定范围内可见树木的数量，重点讨论了如何利用最大公约数进行优化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2841

题目大意：
在平面 $(1,1)$ 到 $(n,m)$ 两点之间的矩形中一共有 $n\times m$ 棵树，求站在点 $(0,0)$ 的人一共能看到多少棵没有被挡住的树？

分析：
如果一棵树的坐标为 $(x,y)$ ，且 $g = gcd(x,y)\not=1$ ，则 $(x',y') = (\frac{x}{g},\frac{y}{g})$ ，说明 $(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 到点 $(x',y')$ 的线段延长线上，所以 $(x,y)$ 会被挡住

那么只要枚举所有满足坐标 $(x,y)$ ， $gcd(x,y)=1$ 的点即可，基本的容斥过程

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;

const ll mod = 1e9+7;


const int maxn = 100000+10;
vector<int> ft[120005];
bool isprime[120000];

void init()
{
    for (int i = 2 ; i <= maxn ; i ++)
    {
        if (!isprime[i])
        {
            for (int j = i ; j <= maxn ; j += i)
            {
                isprime[j] = true;
                ft[j].push_back(i);
            }
        }
    }

}

ll solve(int x,int sta,ll n)
{
    int pos = 0;
    ll temp = 1;
    while (sta)
    {
        if (sta&1)
            temp *= ft[x][pos];
        pos ++;
        sta >>= 1;
    }

    return n/temp;
}

int m,n;

int main(){
    init();
    int T,t=1;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d%d",&m,&n);

        if (m>n)
            swap(m,n);
        ll ans = 0;
        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        {
            ans += m;
            for (int j = 1 ; j < (1<<ft[i].size()); j ++)
            {
                ll temp = solve(i,j,m);int cp = j,cnt = 0;
                //printf("cp = %n\t",cp);
                while (cp)
                {
                    cp -= cp&(-cp);
                    cnt++;
                }
                //printf("cnt = %n\n",cnt);
                if (cnt&1)  ans -= temp;
                else    ans += temp;
            }
            //printf("%d\n",ans);
        }
        printf("%lld\n",ans);



    }



    return 0;
}