【算法竞赛学习笔记】拉格朗日插值-数学提升计划

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title : 拉格朗日插值
date : 2022-2-19
tags : ACM,数学，杂项
author : Linno

拉格朗日插值

简介

在平面直角坐标系中，$n+1$个$x$坐标不同的点可以确认唯一的最高次为$n$的多项式。当我们要解决这些点求多项式的问题时，可以使用高斯消元来获得每一项的系数，但复杂度是$O(n^3)$的，而且往往会存在精度问题，而拉格朗日插值法可以在$O(n^2)$的复杂度内解决这一问题。

公式

假设多项式经过$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$三个点，那么可以假设

$f(x)=y_1\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x3)}+y_2\frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x3)}+y_3\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_1-x2)}$

这样我们直接把每个点代入，都只会剩下一项$y$，其正确性可以保证。

给出公式$f(k)={\sum }_{i=0}^n{\prod }_{i\ne j}\frac{k-x[j]}{x[i]-x[j]}$，我们以此求出给定$k$时任一点的拟合$y$值。

优化

①关于x值连续时的优化

当$x_i$的取值是连续的时候，我们可以把式子优化成$O(n)$的复杂度。

把$x_i$换成 i ∈ [ 0 , n ] i\in [0,n]