51nod 2650 最短缩减路径 （拆点最短路）

问题描述：

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解题思路：

我们一般会想到先在图上跑一遍最短路，然后在最短路径中找一条最长的边进行缩短。但是很容易可以发现，这种做法是很假的，因为缩短路径可能会使某条非最短路变成最短路。

此时我们需要考虑一种清奇的思路。
构建两张一模一样的图，其中上图 $G$ 表示还未使用路径缩短的图，下图 $G^{\prime }$ 表示已经使用了路径缩短的图，而上下图连接的单向变表示被路径缩短的边。
如图：

这样一来，由于在路径中必然需要使用一次路径缩短，因此我们必然要从上图的起点到达下图的终点，因此我们可以在这种双层图中跑一遍从 $S$ 到 $T^{\prime }$ 的最短路，即为问题的解。
通过这种把情况拆开求解的图，我们既保证了路径缩短的使用，也保证了他仅仅只用一次以及答案的最优性。

此解法运用了拆点的思想，把每一条边的边权拆成 $w$ 和 $w/2$ 的两种状态进行求解，在很多问题甚至扩展域并查集都有用到。

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