对于莫比乌斯相关函数总结

$φ(x)$

• 若$n=p^k$则$φ(n)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$
• 积性函数
• 若$n=p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*...*p_m^{k_m}$则有$φ(n)=n*(1-\frac{1}{p_!}(1-\frac{1}{p_2})*...$也就是有$φ(n)=∏(pi−1)p_i^{ki−1}(pi|n)$

int getphi(int n) {
    int ans = n;
    for (int i = 2; i * i <= n; ++i) {
        if (n % i == 0) {
            ans -= ans / i;
            while (n % i == 0) {
                n /= i;
            }
        }
    }
    if (n > 1) {
        ans -= ans / n;
    }
    return ans;
}

• 首先pp是个质数。如果$i$ $mod$ $p=0$，那么$φ(i∗p)=p∗φ(i)φ(i∗p)=p∗φ(i)$（结论一），否则$φ(i∗p)=φ(i)∗(p−1)φ(i∗p)=φ(i)∗(p−1)$（结论二）。
• $$φ(i*j)=\frac{φ(i)φ(j)*gcd(i,j)}{φ(gcd(i,j))}$$

约数个数定理

若有$n=p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*p_3^{k_3}...$
$d(n)=(k_1+1)*(k_2+1)*(k_3+1)...$

约数相关

$$d(i*j)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)==1]$$

狄利克雷卷积

性质一

$$\sum_{d|n}μ(d)=(n==1)$$
性质二
$$\sum_{d|n}φ(d)=n$$
性质三
$$\sum_{d|n}d*μ(\frac{n}{d})=φ(n)$$