笨人小白的温故知新——二分法（1）

今天，通过B站的视频，解决了我对于区间的开闭的问题。

下面，我通过下面一道题来回顾一下。

P1678 烦恼的高考志愿

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题目背景

计算机竞赛小组的神牛 V 神终于结束了高考，然而作为班长的他还不能闲下来，班主任老 t 给了他一个艰巨的任务：帮同学找出最合理的大学填报方案。可是 v 神太忙了，身后还有一群小姑娘等着和他约会，于是他想到了同为计算机竞赛小组的你，请你帮他完成这个艰巨的任务。

题目描述

现有 m 所学校，每所学校预计分数线是 ai​。有 n 位学生，估分分别为 bi​。

根据 n 位学生的估分情况，分别给每位学生推荐一所学校，要求学校的预计分数线和学生的估分相差最小（可高可低，毕竟是估分嘛），这个最小值为不满意度。求所有学生不满意度和的最小值。

输入格式

第一行读入两个整数 m,n。

第二行共有 m 个数，表示 m 个学校的预计录取分数。

第三行有 n 个数，表示 n 个学生的估分成绩。

输出格式

输出一行，为最小的不满度之和。

输入输出样例

输入 #1复制

4 3
513 598 567 689
500 600 550

输出 #1复制

32

说明/提示

数据范围：

对于 30% 的数据，1≤n,m≤103，估分和录取线 ≤104；

对于 100% 的数据，1≤n,m≤105，估分和录取线 ≤106 且均为非负整数。

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我的思路：

（1）为了方便给每一位同学选择大学，我选择用快速排序将大学的录取分数线进行升序操作。

（2）然后，给n[N]数组中的每一个同学的分数，选择大学。这里我采用了二分法来解决。

我用了两种二分法，区别在于区间的限定。

第一种：采用左闭右闭区间

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std ;
const int N = 1e6+10 ;
int m[N] , n[N] ;

void quick_sort(int a[] , int l , int r){
	if(l >= r)	return ;
	int i = l-1 , j = r+1 , x = a[l+r>>1] ;
	while(i < j){
		do i ++ ; while(a[i] < x) ;
		do j -- ; while(a[j] > x) ;
		if(i < j)	swap(a[i] , a[j]) ;
	}
	quick_sort(a , l , j) , quick_sort(a , j+1 , r) ;
}

int main(){
	int t , k ; cin >> t >> k ;
	for(int i = 1 ; i <= t ; i ++)	cin >> m[i] ;
	for(int j = 1 ; j <= k ; j ++)	cin >> n[j] ;
	quick_sort(m , 1 , t) ;
	
	long long ans=0;
	for(int i = 1; i <= k; i++)
	{
		int l = 1 , r = t ;//定义左边界与右边界
		while(l<=r)
		{
			int mid=(l+r)/2;//取查找范围的中间值
			if(m[mid]<n[i])//如果录取分数线数组中的第mid个元素小于或等于那位同学的分数
			{
				l = mid+1;//左边界就往右移
			}
			else
			{
				r = mid-1;//右边界就往左移
			}
		}
		if(n[i] <= m[1]){
    		ans += m[1] - n[i];
		}else if(n[i] >= m[t]){
    		ans += n[i] - m[t];
		}else{
    		ans += min(abs(m[r]-n[i]),abs(m[l]-n[i]));
		}
	}
	cout<<ans;//输出ans
	return 0;//结束程序
}

第二种：采用左开右开区间

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std ;
const int N = 1e6+10 ;
int m[N] , n[N] ;

void quick_sort(int a[] , int l , int r){
	if(l >= r)	return ;
	int i = l-1 , j = r+1 , x = a[l+r>>1] ;
	while(i < j){
		do i ++ ; while(a[i] < x) ;
		do j -- ; while(a[j] > x) ;
		if(i < j)	swap(a[i] , a[j]) ;
	}
	quick_sort(a , l , j) , quick_sort(a , j+1 , r) ;
}

int main(){
	int t , k ; cin >> t >> k ;
	for(int i = 1 ; i <= t ; i ++)	cin >> m[i] ;
	for(int j = 1 ; j <= k ; j ++)	cin >> n[j] ;
	quick_sort(m , 1 , t) ;
	
	long long ans=0;
	for(int i = 1; i <= k; i++)
	{
		int l = 0 , r = t+1 ;//定义左边界与右边界
		while(l+1<r)
		{
			int mid=(l+r)/2;//取查找范围的中间值
			if(m[mid]<=n[i])//如果录取分数线数组中的第mid个元素小于或等于那位同学的分数
			{
				l = mid;//左边界就往右移
			}
			else
			{
				r = mid;//右边界就往左移
			}
		}
		if(n[i] <= m[1])
		{
			ans += m[1] - n[i];
		}
		else if(n[i] >= m[t]) 
		{
			ans += n[i] - m[t];
		}
		else
		{
			ans += min(abs(m[l]-n[i]),abs(m[r]-n[i]));
		}
	}
	cout<<ans;//输出ans
	return 0;//结束程序
}

那么，你可能困惑了，怎么一会儿+1，一会儿不+1；一会儿>=，一会儿>的。

那么，你可以这样理解，这些都取决于让区间有效。

对于 [a , b] 这样的全闭区间，一定满足a <= b。例如：[2 , 2]是有效区间，只包含2这个元素。

对于（a , b）这样的全开区间，一定满足a+1<b。例如：（2，2）就是个无效区间，（2，3）也是（因为都是整数！）。

这样理解的话，就非常便于我们coding啦！