如何规划最经济健康的“穷鬼套餐”？一道题目教你用明白【线性规划】

吃拼好饭可能会不健康，那如果是自己做呢？倘若我们要自己定制一套健康餐，那么成本方面的考虑呢？假设今天阿坤要在兼顾健康和自己的预算的情况下，尝试规划一套合适的健康套餐，规划的方法有很多种，层出不穷，不胜枚举，它希望找一种轻松省心的方式进行规划......

一. 题目

某学校为学生提供营养套餐，希望以最小费用来满足学生对基本营养的需求.按照营养学家的建议，一个人一天对蛋白质、维生素 A和钙的需求如下：50g蛋白质、4000 IU维生素 A 和1 000 mg钙。我们只考虑以下食物构成的食谱：苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁和鸡蛋，其营养含量见下表.确定每种食物的用量，以最小费用满足营养学家建议的营养需求，并考虑：

(1)对维生素A的需求增加1个单位时，是否需要改变食谱?成本增加多少?如果对蛋白质的需求增加1g 呢?如果对钙的需求增加 1m g呢?

(2)胡萝卜的价格增加1角时，是否需要改变食谱?成本增加多少?

食物营养成分表

食物	单位	蛋白质 (g)	维生素 A (IU)	钙 (mg)	价格（角）
苹果	138 g/个	0.3	73	9.6	10
香蕉	118 g/个	1.2	96	7	15
胡萝卜	72 g/个	0.7	20,253	19	5
枣汁	178 g/杯	3.5	890	57	60
鸡蛋	44 g/个	5.5	279	22	8

二. 思路解析

1.前导

① 模型选取

面对这样一个问题，由于涉及的变量组有五组，我们光凭瞪眼硬算，显然是很难得出结果的。那么我们应该怎么入手呢？我们观可以观察到，在满足一定营养需求的条件下，选择食物数量使总成本最小，这是求最小化的最优方案问题，而它的目标函数是线性的（总成本 = 各食物数量 × 单价），再看以下限制的要求，可以发现它的限制条件也是线性的（蛋白质总量 ≥ 50g，维生素 A 总量 ≥ 4000 IU，钙总量 ≥ 1000 mg），这些限制（约束）和目标都可以说是对变量（食物用量）的线性函数，所以我们可以想到要用线性规划来建模求解。

②线性规划概述

简要的定义就是，线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种用来求解在一组线性约束条件下，使线性目标函数达到最大值或最小值的问题的数学优化方法

问题通常包括三个要素，决策变量、目标函数还有约束条件：

• 首先是目标函数，即一个线性函数，我们最终需要把它最大化或最小化。

  比方说一个线性表达式： ；这里的 z  是目标函数，   则是常数系数，   是变量。

• 至于约束条件呢，就是一组或多组线性不等式/等式，用于限制变量的取值范围。

  比方说：

                                 

                                 

                                                               

        当然通常还会有非负性约束，也就是 ，变量通常被限制在非负区间，这叫可行区域。

• 最后就是决策变量，即表可选择且可调整的决策对象，用变量形式的表达，也就是：

                                                  

  这个指代的是问题中要确定的数量（产品产量、资源分配量、食物数量）

2.模型构建

①决策变量

题中有五种食物的选择，那我们就设定每种食物的数量为决策变量：

•   ：苹果数量 /个
•   ：香蕉数量 /个
•   ：胡萝卜数量 /个
•   ：枣汁数量 /杯
•   ：鸡蛋数量 /个

②目标函数

既然求的是最优方案的总成本，那么目标函数的常数系数也就只能是每个食物对应的价格了：

总费用  

③约束条件

1) 蛋白质

推导过程：

• 苹果每个0.3g
• 香蕉每个1.2g
• 胡萝卜每个0.7g
• 枣汁每杯3.5g
• 鸡蛋每个5.5g

将这些食物的贡献计数汇总，加总使得总蛋白质计数至少50g，构成一个不等式。

公式：

                 

2) 维A

推导过程：

• 苹果73 IU
• 香蕉96 IU
• 胡萝卜20,253 IU（这个真的是有点高了）
• 枣汁890 IU
• 鸡蛋279 IU

同样的将各自的贡献计数加总，满足每天摄入至少4000 IU，构成一个不等式

公式：

                 

3) 钙

推导过程：

• 苹果9.6 mg
• 香蕉7 mg
• 胡萝卜19 mg
• 枣汁57 mg
• 鸡蛋22 mg

贡献计数加总，达到每日摄入最低1000 mg，构成不等式

公式：

                  

4) 非负

推导过程：

基于常识，食物的数量不能为负，我们总不能凭空吐出一个苹果之类的，所以每种食物的数量也就是决策变量 必须非负，这样才能确保食谱设定是人类能操作的。由上，构成不等式

公式：

                  

ALL

汇总一下我们就可以得到所有约束条件：

1. 蛋白质：

2. 维A： 

3. 钙：

4. 非负：

3. 解决办法

本题出自《数学模型》（第六版）的4.1课后习题，由于书中已经有使用LINGO解决线性规划的示范，所以在这里我们介绍另外两种解法。

①程序

I MATLAB

在MATLAB中，一个linprog函数可以用来求解线性规划问题。linprog函数是求解最小化问题的，基本语法如下：

[x, fval] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)
%目标函数系数向量，不等式约束 Ax ≤ b，等式约束 Aeq·x = beq，变量下界，上界

其中：

是目标函数的系数向量。这里的线性规划函数的目标是最小化 （默认求的最小化），这里的是一个列向量，代表各个变量对应的系数。就比方说，如果目标函数是 ，那么就是写成

f = [0.3; 1.2]

A和b是不等式的约束矩阵和向量，即约束条件 ，A是矩阵，每行代表一个不等式，b是对应的不等式右端项。

然后Aeq和beq则是等式约束矩阵和向量。即约束条件（只有这种形式），用在要满足的线性等式上。举个简单例子，如果我们的约束条件是   ，那么我们就得写成    的形式，这样以来这个等式约束才被传入linprog中作为必须严格满足的条件。

对lb和ub，可能学过cpp二分函数的朋友就会比较熟悉了，lb对应的是lower bound，ub对应的upper bound，两者自然而然就是变量的下界和上界，分别表示各个变量的最小值和最大值（也可以设置成-Inf或Inf，表示成无限制）。例如 lb = [0; 0] 表示所有变量都不能为负。这是非负约束对应部分的参数名。

左边的是输出变量，也就是求解后所有决策变量的最优值。

fval是输出变量，即目标函数在最优解处的值，换言之就是最小目标函数值。

总的来说，就是设置了    来求出满足这些约束条件的变量，让目标函数值最小。

了解完基本语法还有对应规则之后，我们只需要往里面套系数，进行初始化矩阵即可：

f = [10; 15; 5; 60; 8]; % 目标函数系数（各食物价格）  

A = [-0.3, -1.2, -0.7, -3.5, -5.5;     % 蛋白质（取负）  
     -73, -96, -20253, -890, -279;     % 维A（取负）  
     -9.6, -7, -19, -57, -22];         % 钙（取负）  
                                       %约束左端项，也就是不等式左边

b = [-50; -4000; -1000];                % 约束右端项，也就是不等式右边（取反）  

lb = zeros(5, 1);                      % 非负约束  

 其中比较需要注意的一个点，就是取符号。因为linprog这个函数默认的解决形式是 Ax ≤ b，但是我们之前的所有约束条件都是≥的形式，所以我们要对整个不等式做一个取反，转换约束成 − Ax ≤ − b

初始化之后，就得调用线性规划的求解函数，也就是linprog

[x, fval, exitflag, output, lambda] = linprog(f, A, b, [], [], lb, [], options);  
%输出函数 = linprog(输入函数)

这里比起之前给的函数展示，多了三个输出变量，这里解释一下：

• exitflag：判断是否成功找到了最优解，还有求解状态，一般取值1的时候就是有最优解，取0就是到了最大的迭代次数了还是没找到最优解，小于零就是无解或者报错
• output：给出求解过程的信息，比方说迭代次数，使用时间，还有收敛的信息之类的
• lambda：对偶变量的结构体，包含影子价格(约束条件中资源“多给”或“少给”一单位，目标函数比如总成本如何变化)这些信息

此时如果我们直接打印五个决策变量，那就可以得到原来的价格情况下的最优解，也就是最合适的营养食谱。

那么针对题目这种更改条件的情况应该怎么解决呢？难道全部都要重新改代码吗？实则不然。

对（1）

第一小题更改的是需求，也就是右侧的约束值变化。而在前面初始化的时候，我们用到了lambda来记录约束的边际值，这是影子价格。在线性规划里头的影子价格（对偶变量）是约束条件的右侧值变化一个单位的时候，目标的函数值的变化量。因此我们只需要打印影子价格，并设定一个特判，就可以直接解决第一小问。

对（2）

第二小题更改的是价格，那就是目标函数的系数发生变化了。这个时候，我们就没法依靠对偶变量等其他方法进行延展求解，而是得修改对应的系数。我们看到小题中的变化只出现在一个系数（胡萝卜）上，工程量其实不大，所以我们不用担心，可以直接修改重新求解。

至于第二小问延展的两个分支：“改不改食谱”和“成本涨了多少”，我们可以对前后两个情况的最优食谱进行一次对比，如果最优解的向量基本相同，那么食谱就不用改变，然后总共的成本增长量则可以用两个成本值求差得到。

代码

前面的代码思路汇总一下，加上一些辅助的描述，就可以码出完整的解题代码：

f = [10; 15; 5; 60; 8];     
A = [-0.3, -1.2, -0.7, -3.5, -5.5; -73, -96, -20253, -890, -279; -9.6, -7, -19, -57, -22];     
b = [-50; -4000; -1000];           
lb = zeros(5, 1); 
  
options = optimoptions('linprog', 'Display', 'iter');  
[x, fval, exitflag, output, lambda] = linprog(f, A, b, [], [], lb, [], options);  

fprintf('最优解:\n');  
fprintf('苹果数量: %.4f 个\n', x(1));  
fprintf('香蕉数量: %.4f 个\n', x(2));  
fprintf('胡萝卜数量: %.4f 个\n', x(3));  
fprintf('枣汁数量: %.4f 杯\n', x(4));  
fprintf('鸡蛋数量: %.4f 个\n', x(5));  
fprintf('最小总费用: %.4f 角\n', fval);  

% 影子价格 
fprintf('\n影子价格:\n');  
fprintf('蛋白质约束的影子价格: %.4f\n', -lambda.ineqlin(1));  
fprintf('维生素A约束的影子价格: %.4f\n', -lambda.ineqlin(2));  
fprintf('钙约束的影子价格: %.4f\n', -lambda.ineqlin(3));  

% 问题(1)
fprintf('\n问题(1)分析:\n');  
fprintf('维生素A需求增加1单位，费用增加 %.4f 角\n', -lambda.ineqlin(2));  
fprintf('蛋白质需求增加1单位，费用增加 %.4f 角\n', -lambda.ineqlin(1));  
fprintf('钙需求增加1单位，费用增加 %.4f 角\n', -lambda.ineqlin(3));  

% 问题(2)
f_new = f;  
f_new(3) = f(3) + 1;  % 胡萝卜价格增加1角  
[x_new, fval_new] = linprog(f_new, A, b, [], [], lb, []);  

fprintf('\n问题(2)分析:\n');  
fprintf('胡萝卜价格增加1角后:\n');  
fprintf('新的最小总费用: %.4f 角\n', fval_new);  
fprintf('费用增加: %.4f 角\n', fval_new - fval);  

fprintf('新的最优解:\n');  
fprintf('苹果数量: %.4f 个\n', x_new(1));  
fprintf('香蕉数量: %.4f 个\n', x_new(2));  
fprintf('胡萝卜数量: %.4f 个\n', x_new(3));  
fprintf('枣汁数量: %.4f 杯\n', x_new(4));  
fprintf('鸡蛋数量: %.4f 个\n', x_new(5));  

if norm(x - x_new) < 1e-4  %特判
    fprintf('食谱不需要改变\n');  
else  
    fprintf('食谱需要改变\n');  
end  

尝试运行代码之后我们可以从日志里面看到，求解完成，效率可观，代码没有问题（csdn网站的代码运行有问题，如想确认建议直接cv到matlab中运行查看） 

II Python

由于matlab部分的叙述已经差不多了，所以python这里我们就一笔带过，直接用scipy.optimize.linprog 库解决即可。

代码

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

c = np.array([10, 15, 5, 60, 8])

A_ub = np.array([
    [-0.3, -1.2, -0.7, -3.5, -5.5],  # 蛋白质
    [-73, -96, -20253, -890, -279],  # 维生素A
    [-9.6, -7, -19, -57, -22]        # 钙
])

b_ub = np.array([-50, -4000, -1000])

bounds = [(0, None), (0, None), (0, None), (0, None), (0, None)]

# --- 问题1 ---
print("--- 问题1 ---")
result = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=bounds, method='highs')

# 检查
if result.success:
    x = result.x
    fval = result.fun

    print('最优解:')
    print(f'苹果数量: {x[0]:.4f} 个')
    print(f'香蕉数量: {x[1]:.4f} 个')
    print(f'胡萝卜数量: {x[2]:.4f} 个')
    print(f'枣汁数量: {x[3]:.4f} 杯')
    print(f'鸡蛋数量: {x[4]:.4f} 个')
    print(f'最小总费用: {fval:.4f} 角')

    shadow_prices = result.ineqlin.marginals #这里的调用需要看scipy的版本，不同的版本是不一样的

    print('\n影子价格:')
    print(f'蛋白质约束的影子价格: {shadow_prices[0]:.4f}')
    print(f'维生素A约束的影子价格: {shadow_prices[1]:.4f}')
    print(f'钙约束的影子价格: {shadow_prices[2]:.4f}')

    # --- 敏感性分析 ---
    print('\n问题1的分析:')
    print(f'维生素A需求增加1单位，费用增加 {shadow_prices[1]:.4f} 角')
    print(f'蛋白质需求增加1单位，费用增加 {shadow_prices[0]:.4f} 角')
    print(f'钙需求增加1单位，费用增加 {shadow_prices[2]:.4f} 角')

    # --- 问题2：胡萝卜 ---
    print('\n--- 问题2 ---')
    c_new = np.copy(c)
    c_new[2] = c[2] + 1

    result_new = linprog(c_new, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=bounds, method='highs')

    if result_new.success:
        x_new = result_new.x
        fval_new = result_new.fun

        print('胡萝卜价格增加1角后:')
        print(f'新的最小总费用: {fval_new:.4f} 角')
        print(f'费用增加: {fval_new - fval:.4f} 角')

        print('新的最优解:')
        print(f'苹果数量: {x_new[0]:.4f} 个')
        print(f'香蕉数量: {x_new[1]:.4f} 个')
        print(f'胡萝卜数量: {x_new[2]:.4f} 个')
        print(f'枣汁数量: {x_new[3]:.4f} 杯')
        print(f'鸡蛋数量: {x_new[4]:.4f} 个')

        # 比较新旧食谱
        if np.linalg.norm(x - x_new) < 1e-4:# 设置个阈值
            print('食谱不需要改变')
        else:
            print('食谱需要改变')
    else:
        print("问题(2)求解失败:", result_new.message)

else:
    print("原始问题求解失败:", result.message)

 比较需要注意的一个点：scipy.optimize.linprog 函数在不同版本之间，其返回的 OptimizeResult 对象的结构可能会略有差异，可能有时候还是可以出结果的，但是也会有报错。为了解决这个问题，我们可以利用dir() 和 print()

就拿我的环境举例：

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

c = np.array([10, 15, 5, 60, 8])
A_ub = np.array([
    [-0.3, -1.2, -0.7, -3.5, -5.5],
    [-73, -96, -20253, -890, -279],
    [-9.6, -7, -19, -57, -22]
])
b_ub = np.array([-50, -4000, -1000])
bounds = [(0, None), (0, None), (0, None), (0, None), (0, None)]

print("检查：")

result = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=bounds, method='highs')

if result.success:
    print("\n result 对象的所有可用属性 (dir(result))")
    print(dir(result)) # 打印对象的所有属性名

    print("\n result 对象的详细内容 (print(result))")
    print(result) # 打印对象的详细字的符串表示
else:
    print("\n求解失败，无法打印result。错误：", result.message)

print("\n 结束")

dir(result) 会返回一个字符串列表，里面包含了 result 对象所有可以直接访问的属性和方法的名称。我的结果大概是这样的：

 可以看到了 fun (目标函数值), x (最优解)，success (是否成功) 等相对熟悉的名字，还有ineqlin 这个词，这个指不等式约束，和影子价格强相关，所以可以初步判断影子价格就在ineqlin 属性中。

接着就打印出了result 对象的内容摘要，此时从中找到初步判断时的ineqlin:这一部分，在 ineqlin 下面，我们可以看到 residual: 和 marginals，而marginals 这个词直翻就是“边际的”，一眼定真，marginals就是最终对应的影子价格，它的值也就是三个约束对应的对偶变量。

综上，结合 dir(result) 我们就可以知道有 ineqlin 这个属性，然后用 print(result)就可以知道 ineqlin 内部有一个叫做 marginals 的属性存储了我们所需的影子价格。所以也就可以敲定访问影子价格的、符合相应（我的）版本的路径：

shadow_prices = result.ineqlin.marginals

当然，最最高效也是最建议的方法，就是直接把用上面的测试代码的结果直接cv给ai，让ai识别一下然后改代码，最后cv回到python编译器。

②Excel

1) 前导设置

由于Excel使用的“规划求解器”可能有些朋友没有设置，所以这里先做出一些引导：

Ⅰ点开左上角的 文件(File)，在展开的页面选择左下角的选项(Options)

Ⅱ 选择 加载项，下方“管理(A)”下拉菜单选择 Excel 加载项(Excel Add-ins)，点击 转到(G)

 Ⅲ弹出的对话框中，勾选 规划求解器加载项点击确定，最后重启即可

2) 具体操作 

Ⅰ建表

直接把题目的表格转换一下格式输入的即可：

 Ⅱ调函数

在营养总摄入（G列）调用sumproduct函数，然后框选对应的营养标签行以及决策变量行：

示例如上，然后我们将全部三个营养标签和价格标签填补完全：

单元格	内容说明	公式示例
G2	蛋白质总摄入	=SUMPRODUCT(B2:F2, B7:F7)
G3	维A总摄入	=SUMPRODUCT(B3:F3, B7:F7)
G4	钙总摄入	=SUMPRODUCT(B4:F4, B7:F7)
G5	总费用（目标函数）	=SUMPRODUCT(B5:F5, B7:F7)

 Ⅲ用工具

由于前面我们启用了规划求解器，所以我们直接点开数据那一栏，然后打开规划求解器：

 选择总价格的格子（这里是G5）作为设置目标，选择几个决策变量作为通过更改可变单元格，根据我们之前推导的约束条件不等式填充到遵守约束当中，使无约束变量为非负数，最后选择求解方法为单纯线性规划，并求解

 这样就算出原始情况下的最优方案了。

接下来的解决题目，我们有几种方法，可以用Excel的VBA求解，也可以直接人工手调：

对应需求	具体操作
维A需求+1 IU	改 G3 ，需求值调到4001，重运
蛋白质需求+1 g	改 G2 的需求值跳到51，重运
钙需求+1 mg	改 G4 的需求值跳到1001，重运
胡萝卜+1角	改 D5 由5到6，重新运行然后和原始情况的结果比对

4. 答案结果

由于两个的答案都是一样的，所以我们在这里就只分析第一种方法的了。运行代码之后，我们可以得到结果：

①MATLAB的

②Python的 

得到初始的最优食谱：约 49.4 个胡萝卜，约 2.8 个鸡蛋，其他全不要，最小总费用约为 269.36 角

1. 第一小题

   • 维A影子价格为 0，表示增加需求不会导致食谱变化。在目前的最优解下，维A的摄入量已经超过了最低需求，少量需求的变化只是小打小闹，不会改变食谱，也不会增加成本。
   • 蛋白质的影子价格约 0.4714 角，也就是蛋白质需求增加1克，费用成本将增加约 0.4714 角。
   • 钙影子价格约为 0.2458 角，即钙需求增加1毫克，费用成本将增加约0.2458 角。

2. 第二小题：

胡萝卜价格增加1角后最优食谱构成不变（仍然是约49.4个胡萝卜和约2.8个鸡蛋），总成本增加了约49.38角 (增加的单位成本 * 胡萝卜数量 )

补充：

1.参考来源

[1] 姜启源. 数学建模(第六版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2024: 103.

2.一些后话

我们知道了答案的食谱大概是49.4个胡萝卜和大约2.8个鸡蛋，但是我们也需要知道，数学建模是一个将现实情景转化成数学语言，然后计算得到最优或者是较优结果的过程，它最终服务的是现实，也就是说我们的这个结果是需要的映射抑或能实践到现实的。而我们发现，目前用线性规划得到的结果是带小数的，可是在现实之中，如果我们要去市场买菜，总不可能只买0.4个胡萝卜，一般也不可能买到0.8个鸡蛋，这些都是不现实的。

那么我们应该怎么操作呢？

在单纯线性规划的方法下，我们可以往两边取整，也就是向上或者是向下取整，然后对比向上向下两种情况的最终结果，进而取最优方案。

但是有些时候数据是离散的，没办法直接上下取整得到最优值，有可能最优值并不是直接取整得到的那个，所以我们需要引入新的一种方法，那便是整数规划。相较于一般的线性规划，整数规划的决策变量必须得是整数，因此也就不会出现有小数的答案了。这也是我们下一篇的内容。

线性规划就暂且告一段落了，感谢各位阅读。

                                                              THE END