[bzoj2339][数论][DP]卡农

最新推荐文章于 2019-06-06 16:53:41 发布

Rose_max

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分类专栏： bzoj dp 数论

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探讨了一种算法问题，即从(1,2^n-1)中选择m个数，使它们的异或和等于零。通过递推公式f[i]=A_{2^n-1}

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

题解

很傻
就是给你 $1,2^n-1)$ 这些数选出 $m$ 个数使得他萌异或和为 $0$
如果我们知道了前 $m - 1$ 个数的异或和，显然可以知道第 $m$ 个数要放什么才能让异或和为 $0$
设一个 $f [i]$ 表示选出 $i$ 个数异或和为 $0$ 的方案，考虑顺序，最后除一个 $m!$ 就可以了
转移就是
$f[i]=A_{2^n-1}^{i-1}-f[i-1]-(i-1)*f[i-2]*(2^n-1-(i-2))$
分析一下
首先先从这些数里选出 $i - 1$ 个，就是 $A_{2^n-1}^{i-1}$
然后这样的话后面会有空集或者和前面相同的
是空集的话前面显然是 $f [i - 1]$
和前面相同的话，有 $i - 1$ 地方可以相同
去除之后有 $i - 2$ 个数，这时候他萌的异或和是0
然后这两个相同的数一共有 $2^n-1-(i-2)$ 种选法
就是 $f[i-2]*(i-1)*(2^n-1-(i-2))$
就没了…

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<ctime>
#include<map>
#include<bitset>
#define LL long long
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define pll pair<long long,long long>
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
inline int read()
{
	int f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
int stack[20];
inline void write(int x)
{
	if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(!x){putchar('0');return;}
    int top=0;
    while(x)stack[++top]=x%10,x/=10;
    while(top)putchar(stack[top--]+'0');
}
inline void pr1(int x){write(x);putchar(' ');}
inline void pr2(int x){write(x);putchar('\n');}
const int MAXN=1000005;
const LL mod=1e8+7;
int n,m;
LL f[MAXN];
LL pow_mod(LL a,LL b)
{
	LL ret=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)ret=ret*a%mod;
		a=a*a%mod;b>>=1;
	}
	return ret;
}
int main()
{
	n=read();m=read();
	f[0]=1;
	LL u1=(pow_mod(2,n)-1+mod)%mod,u2=u1,temp=1;
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		temp=temp*(u2--)%mod;if(u2<0)u2+=mod;
		f[i]=((temp-f[i-1]+mod)%mod-f[i-2]*(i-1)%mod*(u1-(i-2)+mod)%mod+mod)%mod;
	}
	temp=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)temp=temp*i%mod;
	temp=pow_mod(temp,mod-2);
	pr2(f[m]*temp%mod);
	return 0;
}