[Codeforces888F][DP]Connecting Vertices

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探讨如何利用邻接矩阵构建树形结构，通过动态规划算法计算特定条件下连接N个点形成树的方案数量。重点介绍f[i][j]与g[i][j]状态转移方程的使用，避免重复计算。

翻译

给你一个邻接矩阵
为1代表可以连边
要求你把N个点连成一棵树
其中没有任意两条边满足(i<x<j<y)
求方案数

题解

显然是一个只满足包含的情况
设f[i][j]表示在(i,j)区间内，i->j有一条边且区间联通的方案数
设g[i][j]表示在(i,j)区间内，只要求区间联通的方案数
如果g直接转移g的话显然会算重
枚举左端点与谁连边，用f转移到g，这样不会有重复
枚举i,j中两个不连通的连通块用g转移到f

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<ctime>
#include<map>
#define LL long long
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define mod 1000000007
using namespace std;
inline int read()
{
	int f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
inline void write(int x)
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
inline void print(int x){write(x);printf(" ");}
int n,mp[505][505];
int f[505][505],g[505][505];
int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)mp[i][i]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)mp[i][j]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i]=g[i][i]=1;
	for(int i=1;i<n;i++)
		for(int x=1;x<=n-i;x++)
		{
			int y=x+i;
			if(mp[x][y])for(int j=x;j<y;j++)(f[x][y]+=(LL)g[x][j]*g[j+1][y]%mod)%=mod;
			for(int j=x;j<=y;j++)(g[x][y]+=(LL)f[x][j]*g[j][y]%mod)%=mod;
		}
	printf("%d\n",g[1][n]);
	return 0;
}