[bzoj3122][BSGS]随机数生成器

最新推荐文章于 2019-07-30 13:25:00 发布

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数论

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本文深入解析了等比数列求和公式的应用，通过一个具体的算法问题，介绍了如何利用等比数列特性进行快速计算。特别地，文章详细解释了BSGS算法在解决特定数学问题中的应用，包括如何处理大数运算和模运算，以及如何通过优化算法提高计算效率。

Description

Input

输入含有多组数据，第一行一个正整数T，表示这个测试点内的数据组数。
接下来T行，每行有五个整数p，a，b，X1，t，表示一组数据。保证X1和t都是合法的页码。

注意：P一定为质数

Output

共T行，每行一个整数表示他最早读到第t页是哪一天。如果他永远不会读到第t页，输出-1。

Sample Input

3

7 1 1 3 3

7 2 2 2 0

7 2 2 2 1

Sample Output

1

3

-1

HINT

0<=a<=P-1,0<=b<=P-1,2<=P<=10^9\

题解

讲个笑话
我居然连
等比数列
求和公式
~~都不知道~~
大言不惭扔一个上来

$S n = a 1 * ( 1 - a n ) 1 - a$ $S_n=\frac{a_1*(1-a^n)}{1-a}$
其中a是公比
把柿子拆开
差不多是一个
$a n x 1 + a n - 1 b + a n - 2 b + . . . + b$ $a^nx_1+a^{n-1}b+a^{n-2}b+...+b$
把b提出来后面就是个等比数列..
~~因为不知道怎么O(1)求卡了半个小时的我你敢信~~
一通乱化简后大概是这样
$a n + 1 (x 1 - b 1 - a) + b 1 - a \equiv T$ $a^{n+1}(x_1-\frac{b}{1-a})+\frac{b}{1-a} \equiv T$
移项就是BSGS模板了..
然后
需要一些特判
a=0或者1的情况以及x1=0的情况..

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#define LL long long
using namespace std;
map<LL,int> q;
LL mod,a,b,x1,T;
LL pow_mod(LL a,LL b)
{
    LL ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ret=ret*a%mod;
        a=a*a%mod;b>>=1;
    }
    return ret;
}
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(a==0)
    {
        x=0;y=1;
        return b;
    }
    else
    {
        LL tx,ty;
        LL d=exgcd(b%a,a,tx,ty);
        x=ty-(b/a)*tx;
        y=tx;
        return d;
    }
}
LL BSGS(int y,int z)
{
    if(y==0&&z==0){return 1;}  
    if(y==0&&z!=0){return -1;}
    q.clear();
    LL k=ceil(sqrt(mod)),tmp=1,p=pow_mod(y,mod-2);
    q[z]=k+1;
    for(int i=1;i<k;i++)
    {
        tmp=(LL)tmp*p%mod;
        LL t=(LL)tmp*z%mod;
        if(q[t]==0)q[t]=i;
    }
    tmp=1;p=pow_mod(y,k);
    for(int i=0;i<k;i++)
    {
        if(q[tmp])
        {
            if(q[tmp]==k+1)return i*k+1;
            else return i*k+q[tmp]+1;
        }
        tmp=(LL)tmp*p%mod;
    }
    return -1;
}
int main()
{
//  freopen("a.in","r",stdin);
//  freopen("a.out","w",stdout);
    int Q;scanf("%d",&Q);
    while(Q--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&mod,&a,&b,&x1,&T);
        if(x1==0)
        {
            if(b==0)
            {
                if(T==0)puts("1");
                else puts("-1");
                continue;
            }
        }
        if(a==0)
        {
            if(x1==T)puts("1");
            else if(b==T)puts("2");
            else puts("-1");
            continue;
        }
        if(a==1)
        {
            LL A=b,B=mod,x,y,K=T-x1;
            LL d=exgcd(A,B,x,y);
            if(K%d){puts("-1");continue;}
            x=(x*(K/d)%(B/d)+(B/d))%(B/d);
            if(x-(B/d)>=0)x-=(B/d);
            printf("%lld\n",x+1);continue;
        }
        T%=mod;
        LL gg=-b;
        gg=gg*pow_mod(a-1,mod-2)%mod;
        x1=(x1-gg+mod)%mod;
        T=(T-gg+mod)%mod;
        T=T*pow_mod(x1,mod-2)%mod;
        printf("%lld\n",BSGS(a,T));
    }
    return 0;
}