『博弈论』魔法珠

最新推荐文章于 2025-01-15 17:44:39 发布

pigzhouyb

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分类专栏：数学·数学推导 [算法进阶指南]习题题解

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[算法进阶指南]习题题解

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这是一篇关于博弈论的博客，重点讨论了如何计算魔法珠问题的SG函数。通过mex运算和异或操作，解释了如何确定不同状态下的必胜策略。文章提供了详细的解题思路和代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

在这里插入图片描述

题解

这是一道博弈论 $S G$ 函数的题。

我们记 $S G (i)$ 表示大小为i的石头的 $S G$ 函数。边界条件是: $S G (0) = 0$ .

为了得到每一份 $S G$ 值，我们需要对每一个扩展的状态进行 $m e x$ 运算。

对于每一个扩展的状态，若由若干个毫不相关的状态组成，则对应得mex运算值需要进行异或运算来解决。例如本提中：对于一个状态 $i$ 如果分成了状态 $j_1,j_2,j_3,$ 那么选取第二堆石头的的运算值是 $SG(j_1)\ xor\ SG(j_3).$

具体的求解运算值的方法，我们可以先求解出扩展状态的每一个SG值得xor和,再分别异或每一个数即可；同样以上面的那个例子为例，可以先求出 $ans\ =\ SG(j_1)\ xor\ SG(j_2)\ xor\ SG(j_3)$ ,如果要求解取第二堆石头的值，我们只需要 $ans\ xor\ SG(j_2)$ 即可。这样我们就得到了求解每一份SG值得方法。

我们如果要判断是否有必胜策略，我们只需要对所有初始石头的 $S G$ 值进行一遍异或运算；如果异或和大于 $0$ 说明必胜，否则必败。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int a[110];
int f[1010];

int SG(int x)
{
	int ans = 0, vis[1010] = {};
	if (f[x] ^ -1) return f[x];
	if (x == 1) return f[x] = 0;
	for (int i=1;i*i<=x;++i)
	    if (x%i == 0)
	    {
	    	ans ^= SG(i);
	    	if (i*i ^ x && i > 1) ans ^= SG(x/i);
	    }
	for (int i=1;i*i<=x;++i)
	    if (x%i == 0)
	    {
	    	vis[ans^SG(i)] = 1;
	    	if (i*i ^ x && i > 1) vis[ans^SG(x/i)] = 1;
	    }
	for (int i=0;;++i) 
	    if (vis[i] == 0) 
			return f[x] = i;
}

void work(int n)
{
	for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",a+i);
	int ans = 0;
	for (int i=1;i<=n;++i) ans ^= SG(a[i]);
	if (ans != 0) puts("freda");
	else puts("rainbow");
	return;
}

int main(void)
{
	freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);
	int n;
	memset(f,-1,sizeof(f));
	while (scanf("%d",&n) != EOF) 
		work(n);
	return 0;
}