『动态规划·贪心』最优价值

最新推荐文章于 2020-08-02 16:59:13 发布

原创最新推荐文章于 2020-08-02 16:59:13 发布 · 336 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

动态规划DP 专栏收录该内容

75 篇文章

订阅专栏

这是一道关于动态规划和贪心策略的题目，讨论如何在物品价值因选择顺序而变化的情况下，求解最大价值。文章解释了如何理解价值下降的概念，并提出减去相应权重的策略。状态转移方程为f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][j−1]−(j−1)∗wi+vi)，其中f[i][j]表示选到第i个物品，选了j件的最大价值。解决方案包括对物品按权重降序排列，然后从小到大选择，以实现最大价值。" 124865865,14072783,Zabbix Web监控详解：监测HTTP状态与页面内容,"['Zabbix', 'Linux', '运维', '前端监控']

题目描述

在这里插入图片描述

题解

这道题可能就是比较经典的费用提前的题吧，但是我考场上莫有想到可能是忘记了吧。

对于费用计算，我们可以这么理解：对于每一件物品，当它使用过以后其他物品的价值都会下降。因此我们在当前状态的时候就减去一个下降的值，这样其他的每一件物品在通过这个状态转移的时候就会下降了。

理解了这么一个思想，我们就有一个问题，就是减去的值为多少呢？我们发现，若这个物品被选的顺序是倒数第一，那么就不选；如果是倒数第二，那就减去一倍的 $w$ ；倒数第三时，有两个数要减去 $w$ ，所以在当前状态转移 $2$ 倍的 $w$ 。一次类推，如果是倒数第 $n$ ，就减去 $(n - 1)$ 倍的 $w$ 即可。

除此之外，因为选的顺序是没有要求的，更小的先选会减的更小，所以我们从小到大选取。由于在状态转移的时候需要倒序枚举，所以我们从大到小排序即可。

我们设 $f [i] [j]$ 表示选到第 $i$ 个物品，选了 $j$ 件的最大价值。有状态转移方程： $f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]-(j-1)*w_i+v_i)$

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;
struct node
{
	int v,w;
};
int ans = -1e9;
int f[6000][6000];
node a[1000000];

inline bool cmp(node p1,node p2)
{
	return p1.w>p2.w;
}

int main(void)
{
	freopen("value.in","r",stdin);
	freopen("value.out","w",stdout);
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;++i) 
		scanf("%d %d",&a[i].v,&a[i].w);
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=i;++j)
	        f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-1]+a[i].v-(j-1)*a[i].w); 
	for (int i=1;i<=n;++i) ans = max(ans,f[n][i]);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}