『高斯消元』球形空间产生器

题目描述

有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。

现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

题解

题目大意：求在n维空间中n+1个点，求解一个点的坐标使得这个点到其他每一个点的距离都相等。

这道题的难点在于数学推导，推到完以后就直接套高斯消元模板即可。

若$i\in [1,n+1]$,则每一个点到球心的距离$C$可以表示为,$p$为球心坐标：$$C=\sum _{j=1}^n(a_{i,j}-p_j{)}^2$$

显然对于每一份i来说，这一个$C$都是不变的。这是含有$n+1$个方程的一个二次方程组，十分难解；我们应该对其进行化简。

我们对这$n+1$个方程相减，则有：$$\sum _{j=1}^n(a_{i,j}-p_j{)}^2-(a_{i+1,j}-p_j{)}^2=0,i\in [1,n]$$
再大力展开，即可得到：
$$\sum _{j=1}^n{p}_j\ast 2(a_i-a_{i+1})=\sum _{j=1}^n{a}_{i-1,j}^2-a_{i,j}^2,i\in [1,n]$$

这样我们就化简为了一个高斯消元的形式：

对于第$i$行来说，有$j$个未知数.每一行j个未知数的和为定值。

若$i,j\in [1,n],$那个第$i$行第$j$列所对应的未知数就是$p_j,$系数是$2\ast (a_i-a_{i-1})$.

${\sum }_{j=1}^n{a}_{i-1,j}^2-a_{i,j}^2,i\in [1,n]$则是方程之积。

然后直接套高斯消元的模板即可。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;
double b[100];
double a[100][100];
double c[100][100];

int main(void)
{
	freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n+1;++i) 
	    for (int j=1;j<=n;++j)
	        cin>>a[i][j];
	for (int i=1;i<=n;++i)
	    for (int j=1;j<=n;++j)
	    {
	    	c[i][j] = 2*(a[i][j]-a[i+1][j]);
	    	b[i] += a[i][j]*a[i][j]-a[i+1][j]*a[i+1][j];
	    }
	double eps = 1e-8;
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		for (int j=i;j<=n;++j)
		    if (fabs(c[j][i])>eps) 
		    {
		    	for (int k=1;k<=n;++k) swap(c[i][k],c[j][k]);
		    	swap(b[i],b[j]);
		    	break;
		    }
		//交换第i行和第r行 
		for (int j=1;j<=n;++j)
		{
			if (i == j) continue;
			double rate = c[j][i]/c[i][i];
			for (int k=i;k<=n;++k) 
			    c[j][k] -= c[i][k]*rate;
			b[j] -= b[i]*rate;
		}
	}
    for (int i=1;i<n;++i) printf("%.3lf ",b[i]/c[i][i]);
    printf("%.3lf\n",b[n]/c[n][n]);
    return 0;
}