64. Minimum Path Sum

Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right which minimizes the sum of all numbers along its path.

Note: You can only move either down or right at any point in time.

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此题题意是，给一个grid的二维数组，大小为m x n，做一张二维数组图，其中每一个数字对应一个格子。我们从左上角走到右下角，每次只能往下或者往右走。选择一条路线，使得该路线上数字之和最小。

显然，每走一步，我们只有两个选择，往右或者往下。

对于每一个格子，我们都有最佳的选择。令f（i，j）为在格子（i，j）上的最佳路径数字和，令左上角格子为f(1,1）。

则 f(i, j) = min(f(i-1, j), f(i, j-1)) + grid(i-1, j-1)

在格子f(i, j)上的数字是grid(i-1, j-1)。由于f（i，j）要么是从f（i-1， j）往下走，要么是从f（i，j-1）往右走得到，所以只需要选择这两个位置中结果最小的那一个，加上格子（i，j）上的数字即可得到该格子上路线最小和。

代码如下：

int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
    if (grid.empty()) return 0;
    int m = grid.size();
    int n = grid[0].size();
    vector<vector<int>> f(m+1, vector<int>(n+1, 0));            //二维数组

    for (int i = 1; i <= n; i++) f[1][i] = f[1][i-1] + grid[0][i-1];    //由于第一行（不能通过向下走到达）和第一列（不能通过向右走到达）
    for (int i = 1; i <= m; i++) f[i][1] = f[i-1][1] + grid[i-1][0];   //所以另外处理

    for (int i = 2; i <= m; i++)
        for (int j = 2; j <= n; j++)
        f[i][j] = min(f[i-1][j], f[i][j-1]) + grid[i-1][j-1];
    return f[m][n];
}