BZOJ 2440 [中山市选2011]完全平方数

最新推荐文章于 2019-05-19 15:58:26 发布

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分类专栏：数学文章标签：莫比乌斯反演

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本文介绍了一种利用二分查找与容斥原理结合μ函数计算第K个无平方因子数的方法，并提供了完整的C++实现代码。该算法适用于处理大量测试数据，通过调整上下界来快速定位目标数值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9

, T ≤ 50

Source

一年前做过，但是现在根本想不起来。

题目大意：求第k个无平方因子数

首先想到二分答案，某神犇证明上界是2*K，不是很懂。

•根据容斥原理可知对于sqrt(x)以内所有的质数有

• x以内的无平方因子数

•=0个质数乘积的平方的倍数的数的数量(1的倍数)

•-每个质数的平方的倍数的数的数量(9的倍数,25的倍数,...)

•+每2个质数乘积的平方的倍数的数的数量(36的倍数,100的倍数,...)-...

前面的系数刚好就是μ（）。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=500005;
int T,n=50000,tot,miu[N],p[N];
long long k;
bool vis[N];
long long tst(long long x)
{
	long long sum=0,t=sqrt(x);
	for(long long i=1;i<=t;i++)
		sum+=x/(i*i)*miu[i];
	return sum;
}
int main()
{
	miu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i])
			p[++tot]=i,miu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot&&p[j]*i<=n;++j)
		{
			vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0)
			{
				miu[i*p[j]]=0;
				break;
			}
			else
				miu[i*p[j]]=-miu[i];
		}
	}
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld",&k);
		long long l=k,r=2*k,mid;
		while(l<r)
		{
			mid=(l+r)/2;
			if(tst(mid)>=k)
				r=mid;
			else
				l=mid+1;
		}
		printf("%lld\n",l);
	}
	return 0;
}