BZOJ 2440 中山市选2011 完全平方数

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#数论 #莫比乌斯反演 #BZOJ

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莫比乌斯反演

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本文介绍了一种通过二分查找与莫比乌斯反演求解第K个不是完全平方数正整数倍的方法。核心思路在于将原问题转化为求解特定函数，并利用反演技巧进行优化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这道题目就是问你第 $k$ 个不是完全平方数正整数倍的数。
好像挺显然的，直接乱搞就好。我们考虑下二分，将问题转化为求函数

f (n) = \sum x = 1 n \sum i = 1 [x \sqrt] [i 2 ∤ x]

$f(n)=\sum\limits_{x=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{[\sqrt{x}]}[i^2\nmid x]$ 然后利用莫比乌斯反演，我们对于

F (i) = \sum x = 1 n [i 2 | x] = [n i]

$F(i)=\sum\limits_{x=1}^{n}[i^2|x]=[\frac{n}{i}]$ 利用反演

f' (i) = \sum i | d μ (d i) F (d)

$f'(i)=\sum\limits_{i|d}\mu(\frac{d}{i})F(d)$ 每次暴力枚举因子计算就好了，不过这题需要注意的是容斥的时候要反过来……
时间复杂度

O(Tk√logk) $\text O(T\sqrt{k}\log k)$ 。代码：

# include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF = 1644934081;
const int maxn = 50010;
const int maxs = 50000;
int pri[maxn],tot=0;
bool mark[maxn];
int mu[maxn]={0,-1};

void getmu()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxs;i++)
    {
        if(!mark[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<=maxs;j++)
        {
            mark[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0;break;}
            else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

ll get_sum(ll x){
    ll ans = 0;
    for (ll i=1;i*i<=x;++i){
        ans = ans + x/(i*i)*mu[i];
    //  printf("%lld ",x/(i*i)*mu[i]);
    }
//  printf("%lld ",ans);
    return ans;
}

ll x;
ll l,r,mid;
ll ans;
int main(){
    getmu();
    int T; scanf("%d",&T);
    while (T--){
        scanf("%lld",&x);
    //  printf("%lld\n",x);
        l = x; r = INF;
        while (l <= r){
        //  printf("%lld %lld\n",l,r);
            mid = (l+r)>>1;
            if (get_sum(mid) >= x){ ans=mid; r=mid-1; }
            else l=mid+1;
        }

        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}