codeforces 893E Counting Arrays

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本文介绍一种算法，用于求解选取n个数字使其乘积等于m的所有可能方案的数量。通过质因数分解及组合数学中的插板法解决此问题，并考虑正负数的选择。

题意：求选n个数字使得其乘积等于m的方案数。

首先我们可以对m进行质因数分解，为p1^y1*p2^y2*p3^y3，那么显而易见我们对每一个质因数有不同的划分方式，所有质因数的划分数之积就是乘积等于x的方案数了。假设我们当前要求p1^y1的次方分成n份的答案，那么就相当于我们要将幂次y1划分为n种集合，由于幂次可为0，即可非空，由插板法可得答案为c(n+y1-1,n-1)。

因为我们选的数字可以是负数，而且m为正数，所以我们可以选0个，2个到n/2个为负数，c(n,0)+c(n,2)+..+c(n,n/2)即为2的n-1次方。所以答案还要乘以2的n-1次方。

下附AC代码。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define maxn 2000005
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
ll tot;
ll fac[maxn],inv[maxn];
int pri[maxn],vis[maxn];
void shai()
{
	for(int i=2;i<=2000000;i++)
	{
		if(!vis[i])
			pri[++tot]=i;
		for(int j=1;j<=tot && i*pri[j]<=2000000;j++)
		{
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)
			break;
		}
	}
}
ll quickpow(ll p,ll k)
{
	ll ans=1;
	while(k)
	{
		if(k&1)
			ans=(ans*p)%mod;
		p=(p*p)%mod;
		k>>=1;
	}
	return ans;
	
}
ll c(ll n,ll m)
{
	return ((fac[n]*inv[n-m])%mod*inv[m])%mod;
}
int main()
{
	
	shai();
	fac[0]=1;inv[0]=1;
	for(int i=1;i<maxn;i++)
	{
		fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;
		inv[i]=quickpow(fac[i],mod-2);
	}
	
	int _;
	scanf("%d",&_);
	while(_--)
	{
		ll n,m,ans=1;
		scanf("%I64d%I64d",&n,&m);
		for(int i=1;pri[i]*pri[i]<=n && n>1;i++)
		{
			ll cnt=0;
			if(n%pri[i]==0)
			{
				while(n%pri[i]==0)
					cnt++,n/=pri[i];
				ans=(ans*c(cnt+m-1,m-1))%mod;
			}
		}
		if(n>1)
			ans=(ans*c(m,m-1))%mod;
		printf("%I64d\n",(ans*quickpow(2,m-1))%mod);
	}
}