[BZOJ4771] 七彩树

本文介绍了一种解决有根树上颜色查询问题的有效算法。该算法通过深度优先搜索(DFS)序、最近公共祖先(LCA)计算及主席树等技术实现对特定节点深度范围内不同颜色数量的快速查询。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

Problem

n个节点的有根数,每个节点拥有一个颜色。边权为1。
现在有m个查询,每个问题有两个整数x和d,表示询问x的字数中depthdepth不超过dep[x]+ddep[x]+d的所有点中出现来多少种本质不同的颜色。

Solution

每个点的贡献都是11,那么若有颜色相同的点对(i,j),那么lca(i,j)lca(i,j)的贡献值就要1−1。于是子树和即为答案。
dfsdfs序相邻的两个节点的lcalca是最深的。所以我们用当前节点与其相邻的两个点做一下即可。如果与它相邻的确实是两个点,那么这两个节点的lcalca处需要贡献+1+1(容斥)。
这个相邻我们可以给每一个颜色都开一个setset来维护。然后按照深度去处理。
再来考虑深度限制。
维护一个主席树,rt[i]rt[i]表示深度为11~i的点的贡献,主席树内是以dfsdfs序为下标的。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
using namespace std;
#define N 100010
inline char gc() {
    static char now[1<<16], *S, *T;
    if(S == T) {T = (S = now) + fread(now, 1, 1<<16, stdin); if(S == T) return EOF;}
    return *S++;
}
inline int read() {
    int x = 0; char c = gc();
    while(c < '0' || c > '9') c = gc();
    while(c >= '0' && c <= '9') {x = x * 10 + c - 48; c = gc();}
    return x;
}
int c[N], f[N][17], dep[N], head[N], id[N];
int n, m, cnt;
struct edge {
    int to, next;
}e[N];
inline void ins(int x, int y) {
    e[++cnt].to = y;
    e[cnt].next = head[x];
    head[x] = cnt;
}
inline void init_lca() {
    for(int i = 1; i <= 16; ++i)
        for(int j = 1; j <= n; ++j) {
            f[j][i] = f[f[j][i - 1]][i - 1];
        }
}
inline int lca(int x, int y) {
    if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
    for(int i = 16; i >= 0; --i) {
        if(dep[f[x][i]] >= dep[y]) {
            x = f[x][i];
        }
    }
    if(x == y) return x;
    for(int i = 16; i >= 0; --i) {
        if(f[x][i] != f[y][i]) {
            x = f[x][i];
            y = f[y][i];
        }
    }
    return f[x][0];
}
int st[N], ed[N], real[N], tim;
void dfs(int x, int d) {
    dep[x] = d; st[x] = ++tim; real[tim] = x;
    for(int i = head[x]; i; i = e[i].next) {
        dfs(e[i].to, d + 1);
    }
    ed[x] = tim;
}
inline bool cmp(int A, int B) {
    return dep[A] < dep[B];
}
set<int> s[N];
set<int>::iterator it;
int rt[N];
#undef N
#define M 5000010
int L[M], R[M], v[M], len;
#undef M
void insert(int x, int &y, int l, int r, int pos, int delta) {
    y = ++len; L[y] = R[y] = 0;
    v[y] = v[x] + delta;
    if(l == r) return ;
    int mid = (l + r)>>1;
    if(pos <= mid) R[y] = R[x], insert(L[x], L[y], l, mid, pos, delta);
    else L[y] = L[x], insert(R[x], R[y], mid + 1, r, pos, delta);
}
int query(int x, int l, int r, int a, int b) {
    if(!x || (a <= l && r <= b)) return v[x];
    int mid = (l + r)>>1;
    int ret = 0;
    if(a <= mid) ret+= query(L[x], l, mid, a, b);
    if(mid + 1 <= b) ret+= query(R[x], mid + 1, r, a, b);
    return ret;
}
inline void work() {
    cnt = 1;
    n = read(); m = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        c[i] = read();
        s[i].clear();
        memset(f[i], 0, sizeof(f[i]));
        head[i] = 0;
        rt[i] = 0;
        id[i] = i;
    }
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        f[i][0] = read();
        ins(f[i][0], i);
    }
    init_lca(); tim = 0; dfs(1, 1);
    sort(id+1, id+n+1, cmp);
    len = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        int u = id[i], a = 0, b = 0;
        it = s[c[u]].lower_bound(st[u]);
        insert(rt[dep[id[i - 1]]], rt[dep[u]], 1, n, st[u], 1);
        if(it != s[c[u]].end()) {
            b = real[*it];
            insert(rt[dep[u]], rt[dep[u]], 1, n, st[lca(b, u)], -1);
        }
        if(it != s[c[u]].begin()) {
            a = real[*(--it)];
            insert(rt[dep[u]], rt[dep[u]], 1, n, st[lca(a, u)], -1);
        }
        if(a && b) {
            insert(rt[dep[u]], rt[dep[u]], 1, n, st[lca(a, b)], 1);
        }
        s[c[u]].insert(st[u]);
    }
    int lastans = 0;
    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
        int x = read() ^ lastans, d = read() ^ lastans;
        lastans = query(rt[min(dep[x] + d, dep[id[n]])], 1, n, st[x], ed[x]);
        printf("%d\n", lastans);
    }
}
int main() {
    int T = read();
    while(T--) work();
    return 0;
}
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