三维偏序问题

一维偏序——排序。

二维偏序——排序+BIT。

三维偏序：

考虑分治。对于l到r这段区间，如果想求解对于每一个i∈[l, r]，有多少个j∈[l, r]且i≠j满足i的三个维度全部大于等于j的。那么我们可以考虑，整段按照x排序，这样右边的就必定不会对左边产生贡献。分治l~mid与mid+1~r这两段，然后再把左边对右边的贡献加上即为这一段的答案。于是，第一维此时就没有用了，只看y与z。参照归并排序思想，我们给左右两边按y排为有序，于是就可以归并+二维偏序BIT的方法去处理贡献。

bzoj3262陌上花开：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 100010
#define K 200010
using namespace std;
struct node {int x, y, z, ans, cnt;}d[N];
int n, k, tot;
inline bool cmp1(node a, node b) {
	if(a.x < b.x) return 1;
	if(a.x > b.x) return 0;
	if(a.y < b.y) return 1;
	if(a.y > b.y) return 0;
	if(a.z < b.z) return 1;
	return 0;
}
inline bool cmp2(node a, node b) {
	if(a.y < b.y) return 1;
	if(a.y > b.y) return 0;
	if(a.z < b.z) return 1;
	if(a.z > b.z) return 0;
	if(a.x < b.x) return 1;
	return 0;
}
int t[K], num[N];
inline void updata(int x, int v) {for(int i = x; i <= k; i+= i & -i) t[i]+= v;}
inline int ask(int x) {int ret = 0; for(int i = x; i; i-= i & -i) ret+= t[i]; return ret;}
void cdq(int l, int r) {
	if(l == r) {d[l].ans+= d[l].cnt - 1; return ;}
	int mid = (l + r)>>1;
	cdq(l, mid); cdq(mid + 1, r);
	sort(d+l, d+mid+1, cmp2); sort(d+mid+1, d+r+1, cmp2);
	int j = l;
	for(int i = mid + 1; i <= r; ++i) {
		while(j <= mid && d[j].y <= d[i].y) updata(d[j].z, d[j].cnt), ++j;
		d[i].ans+= ask(d[i].z);
	}
	for(int i = l; i < j; ++i) updata(d[i].z, -d[i].cnt);
}
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {scanf("%d%d%d", &d[i].x, &d[i].y, &d[i].z); d[i].ans = 1;}
	sort(d+1, d+n+1, cmp1); tot = 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		if(i != 1 && d[i].x == d[i - 1].x && d[i].y == d[i - 1].y && d[i].z == d[i - 1].z) ++d[tot].cnt;
		else d[++tot] = d[i], d[tot].cnt = 1;
	cdq(1, tot);
	for(int i = 1; i <= tot; ++i) num[d[i].ans]+= d[i].cnt;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d\n", num[i]);
	return 0;
}