[NP] 8.9

题目：

    在碰撞集（HITTING SET）问题中，给定一组集合｛S1，S2， ...， Sn｝和预算 b,，我们希望求一个所有的 Si相交且规模不超过 b 的集合 H，当然，前提是这样的集合确实存在。换句话说，我们希望对所有的 i 满足 H ∩ Si ≠∅。

    请证明该问题是 NP－完全的。

题目分析：

    对于这个题目的理解：即对一组集合，要求找出规模在b以内的和每一个集合Si有交集的集合H。

证明NP：

1、要证明该问题是一个NP问题，首先要验证对于任意一个假定的答案H是否符合问题对答案的要求，这里就对任意一个答案H作出分析：

     1）对于集合H，首先判定起规模是否为b以内，这个步骤耗时为min（b，H.size()）；

     2）其次利用遍历对每一个Si的元素和H进行匹配 。对每一个Si，和H进行匹配检测的时间复杂度为O（Si.size() * H.size()）（分别对应便利），因此对n和集合S，时间复杂度为O（H.size() * ∑Si.size()）；

     3）因此容易求到验证答案的时间复杂度为O（min（b， H.size()） + H.size() * ∑Si.size()）明显这是个关于未知数n, b, H.size(), Si.size()的二次多项式而已，验证步骤能在多项式时间内完成。

2、在2中已经证明了对于每一个假定的答案H，我们都能够在二次多项式时间或者关于H.size()的一次项时间内完成验证，但是要从给出的一组集合中找到这样的答案H，目前却只能采用类似穷举法的指数方法，并不能有效的转化为同样的P问题解决。因此这个问题可以证明这是一个NP问题。

证明NP完全：

1、要证明该问题NP完全，需要将该问题归约到书中给出的几个NP完全问题中；

2、很容易发现对于题目中研究的对象——集合Si和Si中的元素，实际上可以分别对应于图中的桥（可连接多个顶点的边）和点，那么按照这样的构建原则我们可以构造出一个由n个桥（分别对应Si(i = 1,2,3....n)中的每一个）和一个顶点集X（Si中元素的并集）构成的图。对于题目需要找的和每一个Si都有交集的集合H，我们可以理解为寻找一个和每一座桥关联的集合X的子集H，且要求H尽可能包含最少的元素；

3、做到这里其实已经比较明朗，和每一座桥关联的集合X的子集H，实际上就是图的一个覆盖，当H要求容量最小时，实际上就是求一个图的最小覆盖。就此将原问题转化为了求一个图的最小覆盖问题，也成功将问题归约为了一个NP完全问题——最小子覆盖问题。由此完成了对原问题为NP完全问题的证明。