算法证明题 8.9 HITTING SET

最新推荐文章于 2021-05-06 20:44:28 发布

DoWhatIWant_comeon

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分类专栏：它总数统计错了o(*￣▽￣*)ブ文章标签：算法 NP

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本文详细介绍了HITTING SET问题，即给定一组集合和一个阈值b，寻找一个不超过b个元素的集合H，使得H与所有集合Si有交集。通过证明HITTING SET是NP的以及将它归约到NP完全问题Vertex Cover，展示了HITTING SET是NP完全问题。

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题目描述
In the HITTING SET problem,we are given a family of sets{S1,S2,…,Sn} and a budget b,and we wish to find a set H of size<=b which intersects every Si, if such an H exists.In other words, we want H∩Si≠∅ for all i.

Show that HITTING SET is NP-complete.
自己对题目的翻译
题目定义了一个HITTING SET的问题：给定集合的集合（即若干个集合）{S1,S2,…,Sn} 和阈值b，需要找出一个集合H，其元素个数不大于阈值b。如果存在，还要求对于所有i，H和Si的交集非空。证明，这个问题为NP完全问题。
初步分析
如何才会有集合H存在呢？若我们能找到满足条件的最小集合H’，且H’的元素个数小于等于阈值b，那么就一定存在H。反之，若我们找到的满足条件的最小集合H’的元素个数大于阈值b，那么就不存在H。
证明总述
要证一个问题是NP完全问题，需要证明该问题是NP的，并且该问题是NP难（NP-hard）的。
证明该问题是NP的
假设已给出集合H，我们需要来判断是否是HITTING SET，也就是看下述的两个条件是否同时满足。

1、遍历H，看H的元素个数是否小于阈值b
2、遍历S集合组，看是否都满足和H取交集为非空，也即看H中是否恰好有该S集合中的至少一个元素。

假设S集合组中元素个数最大为m，那么我们可以在O（mn）的时间复杂度下得出结果，也即在多项式的时间内得到结果。
证明该问题是NP-hard的