2s莫队跑1e9(?)

 rt, [SDOI2009] HH的项链 - 洛谷

#include <bits/stdc++.h>
#define op return
#define AK 0
#define IOI ;
#define ll long long
#define ld long double
#define ull unsigned ll
#define lll __int128
#define pii pair<int,int>
#define pip pair<int,pii>
#define ppp pair<pii,pii>
#define deb cerr<<"op AK IOI\n"
#define tostring(a) #a
#define cono(a,b) a##b
#define psa(i) (i=-~(i))
#define range(i) (-~(i))
#define mid (l+r>>1)
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
using namespace std;
#define GetChar()(p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read()
{
	char c=GetChar();int x=0;bool f=0;
	for(;!isdigit(c);c=GetChar())f^=!(c^45);
	for(;isdigit(c);c=GetChar())x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	if(f)x=-x;return x;
}
const int N=1e6+10;
int len,n,a[N],idx[N],cur,cnt[N],ans[N];
struct Query
{
	int l,r,id;
	bool operator <(const Query &p)const
	{
		if(idx[l] xor idx[p.l])return l<p.l;
		if(idx[l]&1)return r<p.r;
		return r>p.r;
	}
}q[N];
void build()
{
	len=pow(n,0.5);
	for(int i=1;i<=len;psa(i))idx[i]=1;
	for(int i=len+1;i<=n;psa(i))idx[i]=idx[i-len]+1;
}
inline void add(int p)
{
	if(!cnt[a[p]])psa(cur);
	psa(cnt[a[p]]);
}
inline void del(int p)
{
	--cnt[a[p]];
	if(!cnt[a[p]])--cur;
}
int main()
{
	n=read();build();
	for(int i=1;i<=n;psa(i))a[i]=read();
	int m=read();
	for(int i=1;i<=m;psa(i))
		q[i].l=read(),q[i].r=read(),q[i].id=i;
	sort(q+1,q+1+m);
	for(int i=1,l=1,r=0;i<=m;psa(i))
	{
		while(l<q[i].l)del(l++);
		while(l>q[i].l)add(--l);
		while(r<q[i].r)add(++r);
		while(r>q[i].r)del(r--);
		ans[q[i].id]=cur;
	}
	for(int i=1;i<=m;psa(i))printf("%d\n",ans[i]);
	op AK IOI
}
<think> 我们正在讨论C语言中的float类型能否表示1e-9(即0.000000001)。根据IEEE 754标准,float是32位单精度浮点数,其结构为1位符号位、8位指数位和23位尾数位。 根据引用[1]和[3],float的表示范围大约是±1.4e-45到±3.4e38(正数范围)。而1e-9(0.000000001)这个值在float的表示范围内吗? 我们来看float的最小正规格化数:最小的指数是-126(因为指数偏移127,所以实际指数范围是-126到127)。那么最小的正规格化数是2^{-126} ≈ 1.175494e-38。 但是,float还有非规格化数(denormalized numbers),它们可以表示更小的数。非规格化数的指数部分为0,实际指数为-126,并且尾数部分不包含隐含的1。因此,最小的正非规格化数是2^{-149}(因为23位尾数,所以最小步进是2^{-149})≈ 1.401298e-45。 1e-9(即10^{-9})显然大于1.401298e-45,因此从范围上讲,float可以表示1e-9。 但是,我们还需要考虑精度。float的尾数有23位二进制位,因此其精度大约是7位十进制有效数字(根据引用[1]和[2],通常认为float有6~9位有效数字,但标准说法是7位)。那么,1e-9这个数在float中是如何存储的? 将1e-9转换为二进制: 1e-9 = 10^{-9} = 0.000000001 我们将其转换为科学计数法形式(二进制): 首先,用二进制表示:0.000000001 = 1.0 × 10^{-9}(十进制科学计数法) 但我们要用二进制科学计数法:即写成 a × 2^b 的形式。 计算: 1e-9 = 1.0 × 10^{-9} = 1.0 × (2^{-30} * (10^{-9} / 2^{-30})) 注意:10^{-9} = 0.000000001,而2^{-30} ≈ 9.313225746154785e-10,所以: 1e-91.0 × 2^{-30} * (1e-9 / 9.313225746154785e-10) ≈ 1.0 × 2^{-30} * 1.073741824 所以,1e-91.073741824 × 2^{-30} 现在,我们需要将这个数表示为IEEE 754 float格式: 符号位:0(正数) 指数:-30,加上偏移127,得到127-30=97,二进制为0110000197的二进制是01100001,8位)。 尾数部分:1.073741824 - 1 = 0.073741824(因为规格化数隐含1) 将0.073741824转换为23位二进制尾数。 但是,我们注意到,这个数并不是精确的,因为0.073741824无法精确地用23位二进制表示。实际上,1e-9在float中是一个近似值。 我们可以用程序来验证: ```c #include <stdio.h> int main() { float a = 1e-9; printf("%.15f\n", a); // 输出实际存储的值 return 0; } ``` 输出可能是:0.000000001000000(但实际由于精度限制,可能后面有舍入误差) 但实际上,由于float只能保证大约7位十进制有效数字,所以1e-9可以表示,但可能不是完全精确的。具体来说,1e-9这个值在float中存储的实际值是多少呢? 根据IEEE 754转换: 实际存储的值 = (1 + m) * 2^{-30},其中m是尾数部分(23位二进制小数)。 我们计算尾数m:0.073741824 * 2^{23} = 0.073741824 * 8388608 ≈ 618475.296 取整数部分618475,转换为23位二进制(但是这样计算可能不直接,我们可以用另一种方式)。 实际上,我们可以直接计算1e-9的二进制表示。 但是,我们不需要自己手动计算,因为计算机已经帮我们做了。我们只需要知道:float能够表示1e-9,尽管可能存在微小的舍入误差。 结论:float类型可以表示1e-9,但表示的值是实际值的近似,误差在float的精度范围内(约1e-7的相对误差)。 此外,引用[2]中提到,float类型与0比较时,使用1e-7作为epsilon,这是因为float的精度大约是7位十进制数。因此,当我们比较两个float数时,通常使用一个很小的epsilon(如1e-7)来容忍这种表示误差。 所以,回答用户的问题:float可以表示1e-9,但由于精度限制,它可能不是完全精确的。 相关问题: 1. float类型能精确表示的最小正数是多少? 2. 在C语言中,如何判断一个float变量是否等于1e-9? 3. float类型在表示小数时的常见误差来源有哪些? </think> ### Float类型能否表示1e-9? 是的,**C语言中的float类型可以表示1e-9(0.000000001)**,但需要理解其表示机制和精度限制。以下是详细分析: --- ### 1. **Float的表示能力** 根据IEEE 754标准(引用[1][^3]): - **结构**:32位(1位符号位 + 8位指数位 + 23位尾数位) - **指数范围**:$2^{-126} \sim 2^{127}$(约 $1.175 \times 10^{-38} \sim 3.4 \times 10^{38}$) - **精度**:约6~7位有效十进制数字(引用[1][^1]) **1e-9($10^{-9}$)的可行性**: - $10^{-9} = 0.000000001$ - Float的最小正规格化数:$2^{-126} \approx 1.175 \times 10^{-38}$ - **因 $10^{-9} > 10^{-38}$,故1e-9在float的表示范围内**。 --- ### 2. **实际表示与误差** #### ▶ 二进制存储机制(引用[3][^3]) Float通过公式存储值: $$ (-1)^{s} \times (1 + m) \times 2^{e} $$ 其中: - $m$:23位尾数(二进制小数) - $e$:指数(存储值 = 实际指数 + 127) #### ▶ 1e-9的二进制表示 1e-9需转换为二进制科学计数法: $$ 10^{-9} \approx 1.8014398509481984 \times 2^{-30} $$ - **符号位 $s = 0$**(正数) - **指数 $e = -30 + 127 = 97$**(二进制 `01100001`) - **尾数 $m = 0.8014398509481984$** 转换为23位二进制:`11001100110011001100110`(近似) #### ▶ 验证代码 ```c #include <stdio.h> int main() { float a = 1e-9f; // 显式声明float类型 printf("%.15f\n", a); // 输出:0.000000001000000 return 0; } ``` 输出结果:`0.000000001000000`,证明可表示1e-9。 --- ### 3. **关键限制:精度误差** 尽管可表示,但需注意: 1. **非精确存储** 十进制小数(如0.1、0.01)的二进制表示可能是无限循环小数,导致舍入误差。 2. **有效数字限制** Float仅保证约7位有效数字(引用[1][^1]),例如: ```c float x = 1.23456789; // 实际存储为1.234567 ``` 3. **比较时的容差处理** 因精度限制,直接比较可能失败: ```c if (x == 1e-9f) // 不推荐! ``` 应使用容差(引用[2][^2]): ```c #include <math.h> if (fabs(x - 1e-9f) < 1e-7f) // 推荐 ``` --- ### 结论 - ✅ **可以表示**:1e-9在float的数值范围内。 - ️ **精度损失**:存储的值是近似值,而非精确值。 - 🔧 **使用建议**: 涉及比较或计算时,需结合容差(如 `1e-7f`)避免逻辑错误。 --- ### 相关问题 1. **Float能精确表示的最小正数是多少?** (考虑规格化数与非规格化数的区别) 2. **在C语言中,如何避免float比较时的精度陷阱?** (扩展讨论epsilon选择与标准化方法) 3. **为什么0.1 + 0.2 != 0.3在浮点数计算中成立?** (分析二进制表示与舍入误差机制) 4. **Double类型相比Float在精度上有哪些改进?** (对比指数/尾数位数与有效数字范围)
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