【数据结构笔记】优先级队列PriorityQueue

Resurgence03

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分类专栏： # 数据结构笔记文章标签：数据结构笔记算法

于 2024-10-23 22:58:33 首次发布

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堆序性质：除了根节点，其他节点都不大（小）于父节点

进而根节点是最大（小）堆的最大（小）元

完全二叉堆

物理上是Vector

逻辑上是完全二叉树

层次遍历序列与物理存储顺序相同
Rank为k的左孩子Rank为1+2k
Rank为k的右孩子Rank为2+2k
Rank为k的父节点Rank为⌊(k-1)/2⌋

上滤插入

在Vector末尾插入元素e
计算e的父节点的Rank，找到父节点，检查二者大小
- 如果父节点更优，完成
- 如果父节点更优，就交换二者数据项
  - e的数据项在逻辑上的完全二叉树中上升一层
- 一层仅需比较1次
如此循环上滤，直到完成或升为根节点

时间复杂度

最好情况O(1)
最坏情况O(logn)
平均情况O(1)
- 最后两层占总节点数不少于一半，平均最多上升一层

下滤删除

把Vector末尾元素r与堆顶元素互换
计算r的现在所有孩子节点的Rank，找到所有孩子节点，检查大小
- 如果无孩子节点更优，完成
- 如果有孩子节点更优，r与更大的孩子节点交换
  - r的数据项在逻辑上的完全二叉树中下降一层
- 一层需比较2次
如此循环下滤，直到完成或降为叶节点

时间复杂度

最好情况O(1)
- 考虑全堆元素均相等情形
最坏情况O(logn)
平均情况为O(logn)
- 最后两层占总节点数不少于一半

Floyd建堆

对于规模为n的输入，组织为Vector

n / 2以前的节点有孩子节点
上述节点按Rank从高到低依次下滤
- 每次下滤结束，以当前节点为根的完全二叉堆维持堆序性
- 单次下滤复杂度为O(所在子堆的高度) = O(本身高度)

时间复杂度为O(n)

所有节点高度之和为O(n)
高度为h的节点有O(n/2^{h+1})个

与n次调用BinHeap::insert()建堆比较

Floyd建堆渐进复杂度优
n较小时Floyd建堆无优势
Floyd建堆为离线算法，n次调用BinHeap::insert()建堆为在线算法

min-max堆

（《数据结构与算法分析 Java语言描述》练习6.18）

d-堆

物理上是Vector

逻辑上是完全d叉树

层次遍历序列与物理存储顺序相同
Rank为k的第i个孩子Rank为i+kd
Rank为k的父节点Rank为⌊(k-1)/d⌋

上滤插入

单次上滤时间复杂度不变，堆高减小

时间复杂度

最坏情况降为O(\log_dn)

下滤删除

单次下滤需要d次比较，堆高减小

d = 3时总时间复杂度减小
d = 4时总时间复杂度不变
d > 4时总时间复杂度增大

左式堆

添加外部节点成为真二叉树

对任意内部节点node，有npl(node.leftChild) >= npl(node.rightChild)

零路径长Null Path Length（npl）：节点到孩子外部节点的最短路径长度
- npl(NULL) = 0
- npl(node) = 1 + min{npl(node.leftChild), npl(node.rightChild)}
  - 对于左式堆，npl(node) = 1 + npl(node.rightChild)
- npl(node) = node到孩子外部节点的最短路径长度 = 以node为根的最大满二叉树高度
左式堆的任意子树（堆）也是左式堆
左式堆的右侧链rChain是根节点通向外部节点的最短路径
- 右侧链：一直node = node.rightChild直到node = NULL
- npl(root) = rChain(r).length
- 如果npl(root) = d
  - 这表明其他通向外部节点的路径都不小于d
  - 左式堆截取深度d及以上部分为满二叉树