矩估计de原理：E(1n∑i=1nxik)=E(xk)(总体的k阶中心矩f(θ))矩估计de原理：E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^k)=E(x^k)(总体的k阶中心矩f(\theta ))矩估计de原理：E(n1i=1∑nxik)=E(xk)(总体的k阶中心矩f(θ))
证明：∵Xi与X同分布,且期望具有线性性质∴E(Xik)=E(Xk),E(1n∑i=1nxik)=E(xk)用1n∑i=1nxik=E(xk)(总体的k阶中心矩f(θ))估计参数θ证明：\because X_i与X同分布,且期望具有线性性质\\
\therefore E(X_i^k)=E(X^k),E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^k)=E(x^k)\\
用 \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^k =E(x^k)(总体的k阶中心矩f(\theta ))估计参数\theta证明：∵Xi与X同分布,且期望具有线性性质∴E(Xik)=E(Xk),E(n1i=1∑nxik)=E(xk)用n1i=1∑nxik=E(xk)(总体的k阶中心矩f(θ))估计参数θ
矩(xn的期望)估计：{对总体的均值与方差的估计:μ^=1n∑xi,σ^2=1n∑(xi−xˉ)2(有偏)或1n−1∑(xi−xˉ)2(无偏)用参数表示矩后，由等式关系解出参数矩(x^n的期望)估计：\\ \begin{cases} 对总体的均值与方差的估计 : \hatμ=\frac{1}{n}\sum x_i,\hatσ^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar x)^2(有偏)或\frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar x)^2(无偏)\\ 用参数表示矩后，由等式关系解出参数 \end{cases}矩(xn的期望)估计：{对总体的均值与方差的估计:μ^=n1∑xi,σ^2=n1∑(xi−xˉ)2(有偏)或n−11∑(xi−xˉ)2(无偏)用参数表示矩后，由等式关系解出参数
例：
设总体X的分布函数为F(x,β)={1−1xβ, x>10, x≤1其中未知参数β>1,X1，X2，X3……Xn是来自总体的简单随机样本，求β的矩估计量 设总体X的分布函数为 \\ F(x,β)=\begin{cases}
1-\frac{1}{x^β } ,\ x>1 \\
0,\ \ \ x\le1
\end{cases}\\ 其中未知参数β>1,X_1，X_2，X_3……X_n是来自总体的简单随机样本，\\求β的矩估计量设总体X的分布函数为F(x,β)={1−xβ1, x>10, x≤1其中未知参数β>1,X1，X2，X3……Xn是来自总体的简单随机样本，求β的矩估计量
解：X的概率密度函数为f(x,β)={βxβ+1, x>10, x≤1E(X)=∫−∞+∞xf(x,β)dx=∫0+∞xβxβ+1dx=ββ−1令E(X)=Xˉ(∗∗∗)解得β=XˉXˉ−1 解：X的概率密度函数为f(x,β)= \begin{cases}
\frac{β}{x^{β+1} } ,\ x>1 \\
0,\ \ \ x\le1
\end{cases} \\ E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,β)dx=\int_{0}^{+\infty}x\frac{β}{x^{β+1} }dx =\frac{β}{β-1} \\ 令 E(X)= \bar X (***)\\解得 β=\frac{\bar X}{\bar X-1} 解：X的概率密度函数为f(x,β)={xβ+1β, x>10, x≤1E(X)=∫−∞+∞xf(x,β)dx=∫0+∞xxβ+1βdx=β−1β令E(X)=Xˉ(∗∗∗)解得β=Xˉ−1Xˉ
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