无偏估计+求样本的方差为何除n-1

本文探讨了无偏估计的概念,特别是在统计学中如何通过样本方差来无偏估计总体方差。详细解释了为什么在计算样本方差时要除以n-1,而不是n,这是为了确保样本方差作为总体方差的无偏估计。

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无偏估计

f(X1,X2,……)是g(θ)的无偏估计E(f(X1,X2,……))=g(θ)f(X_1,X_2,……)是g(θ)的无偏估计\\ E(f(X_1,X_2,……))=g(θ)f(X1,X2,)g(θ)E(f(X1,X2,))=g(θ)

样本均值方差的无偏估计

{xˉ=∑1nxin均值,E(xˉ)=μS2=∑1n(xˉ−xi)2n−1方差,E(S2)=σ2 \begin{cases} \bar{x}=\frac{ \sum_{1}^{n} x_{i} }{n}& {均值,E( \bar{x} )=μ}\\ S^2= \frac{ \sum_{1}^{n} ( \bar{x}- x_{i} )^2 }{n-1} & {方差,E( S^2 )=σ ^2} \end{cases}{xˉ=n1nxiS2=n11n(xˉxi)2E(xˉ)=μE(S2)=σ2

求样本方差为什么除n-1 ?

除n−1使样本方差作为总体方差σ2的无偏话计量n−1与自由度https://baike.baidu.com/item/行对应 除n-1使样本方差作为总体方差σ^2的无偏话计量\\n-1 与自由度 https://baike.baidu.com/item/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%BA%A6/5936984?fr=aladdin 行对应n1使σ2n1https://baike.baidu.com/item/
1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2=1n∑i=1nXi2−Xˉ2E(1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2)=E(1n∑i=1nXi2−Xˉ2)=E(1n∑i=1nXi2)−E(Xˉ2)=E(1n∑i=1nXi2)−(D(Xˉ)+E(Xˉ)2)=(σ2+μ2)−(σ2n+μ2)=n−1nσ2 \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^2-\bar{X}^2\\ E( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 )=E( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^2-\bar{X}^2 )\\ =E( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^2)-E(\bar{X}^2 )\\ =E( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^2)-(D(\bar{X} )+ E(\bar{X} )^2 )\\ =(σ ^2+μ^2)-(\frac{σ ^2}{n}+μ^2)=\frac{n-1}{n} σ ^2 n1i=1n(XiXˉ)2=n1i=1nXi2Xˉ2E(n1i=1n(XiXˉ)2)=E(n1i=1nXi2Xˉ2)=E(n1i=1nXi2)E(Xˉ2)=E(n1i=1nXi2)(D(Xˉ)+E(Xˉ)2)=(σ2+μ2)(nσ2+μ2)=nn1σ2

E(S2)=E(1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2)=σ2 E(S^2)=E(\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 )=σ ^2 E(S2)=E(n11i=1n(XiXˉ)2)=σ2

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