AtCoder Beginner Contest 281 F - Xor Minimization (字典树)-优快云博客

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题意

给你一个非负整数序列 $A=(a1,…,aN)A=(a_1,\ldots,a_N)$ 。

让我们只对 $A$ 执行一次下面的操作。

选择一个非负整数 $x$ 。然后，对于每一个 $\ldots, N$ ，将 $a_i$ 的值替换为 $a_i$ 和 $x$ 的比特 XOR。

设 $M$ 为操作后 $A$ 中的最大值。求 $M$ 的最小可能值。

思路

这题没有用到什么性质，但是使用字典树的结构可以很好的理解这道题

考虑答案二进制中第 $i$ 位的 $1$ 能否消除掉，对于第 $i$ 位，如果数组中所有元素二进制的第 $i$ 位：

都是 $0$ ：那么 $x$ 可以在第 $i$ 位构造 $0$ ，使得答案的第 $i$ 位是 $0$
都是 $1$ ：那么 $x$ 可以在第 $i$ 位构造 $1$ ，使得答案的第 $i$ 位是 $0$
既有 $0$ 又有 $1$ ：那么无论 $x$ 在第 $i$ 位构造 $0/1$ ，答案的第 $i$ 位都是 $1$

用字典树将 $n$ 个元素的信息存储起来

定义 $tree_{u, 0/1}$ 表示节点 $u$ 通过 $0/1$ 边连向的节点编号

定义 $q u ery (d e p, p)$ 表示字典树深度为 $d e p$ 节点编号是 $p$ 时可以异或得到的最小的最大值答案

对于当前节点只有 $0$ 边连向节点（对标上文情况 $1$ ），那么答案是 $query(dep - 1, tree_{p,0})$
对于当前节点只有 $1$ 边连向节点（对标上文情况 $2$ ），那么答案是 $query(dep - 1, tree_{p,1})$
对于当前节点既有 $0$ 边又有 $1$ 边连向节点（对标上文情况 $3$ ），那么取最小情况 $min(query(dep-1, tree_{p, 0/1}))$ ，此外还需要加上第 $d e p$ 位对答案的贡献 $2^{dep}$ ，所以答案是 $min(query(dep-1, tree_{p, 0/1})) + 2^{dep}$

代码

const int M = 30;
int tot = 0, tree[N][2], exist[N];

void insert(int x) {
    int p = 0;
    for (int i = M; i >= 0; i --) {
        int u = x >> i & 1;
        if (!tree[p][u]) tree[p][u] = ++ tot;
        p = tree[p][u];
        exist[p] ++;
    }
}

int query(int dep, int p) {
    int l = tree[p][0], r = tree[p][1];
    if (exist[l] && exist[r]) return std::min(query(dep - 1, l), query(dep - 1, r)) | (1 << dep);
    else if (exist[l]) return query(dep - 1, l);
    else if (exist[r]) return query(dep - 1, r);
    else return 0;
};

void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        int x;
        std::cin >> x;
        insert(x);
    }

    std::cout << query(M, 0);
}