【题解】洛谷P1373 小a和uim之大逃离（dp 递推）

题目背景

小a和uim来到雨林中探险。突然一阵北风吹来，一片乌云从北部天边急涌过来，还伴着一道道闪电，一阵阵雷声。刹那间，狂风大作，乌云布满了天空，紧接着豆大的雨点从天空中打落下来，只见前方出现了一个披头散发、青面獠牙的怪物，低沉着声音说：“呵呵，既然你们来到这，只能活下来一个！”。小a和他的小伙伴都惊呆了！

题目描述

瞬间，地面上出现了一个n*m的巨幅矩阵，矩阵的每个格子上有一坨0~k不等量的魔液。怪物各给了小a和uim一个魔瓶，说道，你们可以从矩阵的任一个格子开始，每次向右或向下走一步，从任一个格子结束。开始时小a用魔瓶吸收地面上的魔液，下一步由uim吸收，如此交替下去，并且要求最后一步必须由uim吸收。魔瓶只有k的容量，也就是说，如果装了k+1那么魔瓶会被清空成零，如果装了k+2就只剩下1，依次类推。怪物还说道，最后谁的魔瓶装的魔液多，谁就能活下来。小a和uim感情深厚，情同手足，怎能忍心让小伙伴离自己而去呢？沉默片刻，小a灵机一动，如果他俩的魔瓶中魔液一样多，不就都能活下来了吗？小a和他的小伙伴都笑呆了！

现在他想知道他们都能活下来有多少种方法。

输入输出格式

输入格式：

第一行，三个空格隔开的整数n，m，k

接下来n行，m列，表示矩阵每一个的魔液量。同一行的数字用空格隔开。

输出格式：

一个整数，表示方法数。由于可能很大，输出对1 000 000 007取余后的结果。

输入样例：

2 2 3

1 1

1 1

输出样例：

4

 

说明

【题目来源】

lzn改编

【样例解释】

样例解释：四种方案是：(1,1)->(1,2),(1,1)->(2,1),(1,2)->(2,2),(2,1)->(2,2)。

【数据范围】

对于20%的数据，n,m<=10,k<=2

对于50%的数据，n,m<=100,k<=5

对于100%的数据，n,m<=800,1<=k<=15

 

这道题目一开始我想写暴力，用dfs来找到每一种符合的情况。然而暴力也写了好久，最后明白因为俩人只能往右或者往下走，因此不需要判重，而且条件就是不越界，符合两者之差为0结果就+1，费尽周折骗到了30分。注意dfs时要考虑到该谁走了，这样最后能判断两者差为0是不是uim走的。

（30分暴力代码）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
const int maxn=810;
int n,m;
int k;
ll ans=0;
int a[maxn][maxn];
void dfs(int x,int y,int w,int turn)
{
	if(turn%2==0) w+=a[x][y];
	else w-=a[x][y];
	w=(w%k+k)%k;
	if(w==0&&turn%2==1) ans++;
	if(y+1<=m) dfs(x,y+1,w,turn+1);
	if(x+1<=n) dfs(x+1,y,w,turn+1);
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	scanf("%d",&k);
	k=k+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			scanf("%d",&a[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			dfs(i,j,0,0);
		}
	}
	
	cout<<ans%mod<<endl;
	return 0;
}

标签是动态规划，所以我们可以尝试用动归的方法解决。

我们定义一个dp[i][j][k][turn] 其中i,j代表要到的那个点坐标，k代表出发点到目标点之差为0-k，turn取0或1，代表是小a或是uim走的这一步。读入数据后，首先为每一个a[i][j]赋初始值dp[i][j][a[i][j]%k][0]=1，因为第一步一定是小a走的所以turn为0.接下来就是状态转移方程，我们枚举i从1-n，j从1-m，p从0- k-1（注意，我们在读入k后就立刻给k++，因为当收集到k+1的药水时相当于给自己所拥有的药水量取mod，所以这里枚举0-k-1）。这里分两种情况讨论。如果动归的这一步是小a走的，除了这一步之外得加上上一步的权值，因为小a走这一步会给药水量+a[i][j]，所以上一步是p-a[i][j]，这有可能是负数，所以我们用(p-a[i][j]+k)%k来保证取mod后是正数。同理可以求出这一步是1的情况，要注意每一次得到新的情况后要取膜，最后还要对ans取一次膜才能得到正确的结果。得到转移方程后，交上去却只得了85分，3个点MLE。研究后，发现是long long类型太大了，会让程序爆掉，于是我把long long全部换成int，这道题也就解决了。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=810;
const int maxk=20;
const int mod=1e9+7;
int dp[maxn][maxn][maxk][2]; //i,j,k=wa-wb,who's turn
int a[maxn][maxn];
int ans;
int n,m,k;
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	k++;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			scanf("%d",&a[i][j]);
			dp[i][j][a[i][j]%k][0]=1;
		}
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			for(int p=0;p<=k-1;p++)
			{
				int t0=(p-a[i][j]+k)%k;
				int t1=(p+a[i][j])%k;
				dp[i][j][p][0]=(dp[i][j][p][0]+dp[i][j-1][t0][1])%mod;
				dp[i][j][p][0]=(dp[i][j][p][0]+dp[i-1][j][t0][1])%mod;
				dp[i][j][p][1]=(dp[i][j][p][1]+dp[i][j-1][t1][0])%mod;
				dp[i][j][p][1]=(dp[i][j][p][1]+dp[i-1][j][t1][0])%mod;
			}
			
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			ans+=dp[i][j][0][1];
			ans%=mod;
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

总体来说，这个方程也不是那么容易能想到的。多做几道类似的题，以后可能会有不同的启发。