洛谷P1373 小a和uim之大逃离动态规划

最新推荐文章于 2022-11-27 12:32:51 发布

原创最新推荐文章于 2022-11-27 12:32:51 发布 · 275 阅读

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本文介绍了一种通过状态压缩优化动态规划算法的方法，用于解决两个角色魔力值相等的方案计数问题。通过减少状态数量，避免了内存和时间上的资源浪费。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题解

我们可以先简单的想一种状态，也就是 $d p [i] [j] [x] [y] [t]$ ，这是最暴力的。
当 $t = 0$ 时，表示小a处于 $(i, j)$ 位置，其中小a拥有x魔液，uim拥有y的魔液时候的方案总数。 $t = 1$ 的时候反过来，意义类似。
这样的话我们很容里列出转移方程（这里就不给出了），但是这样的话内存和时间上都会爆炸 $800 * 800 * 15 * 15 * 2 = 288000000$ ，因此我们必须对状态进行压缩。
从要求出发，题目中要求两者魔力相等的方案数，也就是差值为 $0$ 的方案数。
我们定义 $d p [i] [j] [x] [t]$ 。当t = 0时候，表示小a位于(i,j)位置，且小a的魔力与uim的魔力相差为x的方案数。
容易列出状态转移方程：
$d p [i] [j] [x] [t] = d p [i] [j - 1] [p] [1 - t] + d p [i - 1] [j] [p] [1 - t]$
其中 $(mat[i][j]-t+k)\%k$
推导过程：
$sum_t + mat[i][j] - sum_{1-t} = x$
$p = sum_{1-t}-sum_t = mat[i][j] - x = (mat[i][j]-x+k)\%k$

额外条件要注意！
由于只能从小a开始，因此初始化只初始化 $t = 0$ 的情况
由于只能从uim结束，因此答案只加 $d p [i] [j] [0] [1]$

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int n,m,k;
int dp[801][801][20][2];
const int mod = 1e9+7;
int mat[801][801];
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    ++k;
    for(int i = 1;i <= n;++i){
        for(int j = 1;j <= m;++j){
            scanf("%d",&mat[i][j]);
            dp[i][j][mat[i][j]%k][0] = 1;
        }
    }
    long long ans = 0;
    for(int i = 1;i <= n;++i){
        for(int j = 1;j <= m;++j){
            for(int t = 0;t < k;++t){
                int p = (mat[i][j]-t+k)%k;
                dp[i][j][t][0] += (dp[i-1][j][p][1]+dp[i][j-1][p][1])%mod;
                //p = (mat[i][j]+t)%k;
                dp[i][j][t][1] += (dp[i-1][j][p][0]+dp[i][j-1][p][0])%mod;
                dp[i][j][t][0] %= mod;
                dp[i][j][t][1] %= mod;
                //printf("i:%d,j:%d,t:%d,val:%d\n",i,j,t,dp[i][j][t][1]);
            }
            ans = (ans + dp[i][j][0][1])%mod;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
}