历届试题 带分数 （全排列)——全排列函数

问题描述

100 可以表示为带分数的形式：100 = 3 + 69258 / 714。

还可以表示为：100 = 82 + 3546 / 197。

注意特征：带分数中，数字1~9分别出现且只出现一次（不包含0）。

类似这样的带分数，100 有 11 种表示法。

输入格式

从标准输入读入一个正整数N (N<1000*1000)

输出格式

程序输出该数字用数码1~9不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。

注意：不要求输出每个表示，只统计有多少表示法！

样例输入1

100

样例输出1

11

样例输入2

105

样例输出2

6

基本思路

这个题只需写出“123456789”的全排列，然后从上面截取运算即可

先普及一个数论知识，a/b=c 若c为x位，b为y位，c为z位，x的最大值为y+z，最小值为x（max）-1

如果设整数位数为bit1，分数部分位数为bit2，分母为x位，分子为y位

，全排列有9位则根据数论知识一定有

x-y=bit2  x+y=9-bit1

算出来x=（9-bit1+bit2）/2 即分母最多有x=（9-bit1+bit2）/2位 最少有（9-bit1+bit2）/2-1位

设n的百分数表示形式为basic+fz/fm

比如当n=100

当basic=1时 分子最多有5位最少有4位

排列数a到了“123456789” ，只需截取两个就可以

a截取为1 2345 6789 发现1+2345/6789！=100舍去

再截取1 23456 789 发现1+23456/789!=100 舍去

当basic=12时 分子最多有4位 最少有3位
排列数a到了“123456789” ，只需截取两个就可以
a截取为12 3456 789 发现12+3456/789！=100舍去
再截取12 345 6789 发现12+345/6789!=100 舍去

当basic=123时

123>100 不再循环

再比如当n=100

排列数a到了“823546197”

当basic=8时，只需两个

截取a截取为8 2354 6197 发现8+2354/6197！=100舍去

再截取8 23546 197 发现8+23546/197!=100 舍去

当basic=82时只需截取两个

截取a截取为82 3546 197 发现82+3546/197=100计数器Count+1
再截取82 354 6197 发现82+354/6197!=100 舍去

当basic=823时

823>100 不再循环

至于全排列我没用DFS

我用了stl中的一个输出全排列函数next_permutation(,)，这个函数只能对一个字符串a，取a的下一个全排列字符串

具体用法如下：（输出一个字符串所有全排列）

#include<iostream>  
#include<algorithm>  
#include<cstring> 
#include<string> 

using namespace std;
int main()  
{  
	//方法一用char数组 
    char a[10];
	gets(a);
	sort(a,a+strlen(a));//因为要输出所有的所以对输入的要进行排序
	cout<<a<<endl;
	while(next_permutation(a,a+strlen(a)))
		cout<<a<<endl;
	//方法二用string
	cout<<endl;
	string s;
	cin>>s;
	sort(s.begin(),s.end());
	cout<<a<<endl;
	while(next_permutation(s.begin(),s.end()))
		cout<<s<<endl;
    return 0;  
} 

本题我还用到了一个atoi函数

atoi用法如下：

atoi (表示 alphanumeric to integer)是把字符串转换成整型数的一个函数，

原型：int atoi(const char *nptr);

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int Count=0;
char a[10]={'1','2','3','4','5','6','7','8','9',0};
int bits(int num)//求一个数的位数
{
	int bit=0;
	while(num)
	{
		bit++;
		num/=10;
	}
	return bit;
}
char *Sub(int s,int e)//截取字符串，从下标s截取到e
{
	if(s>e)
		return 0;
	char *ans=new char;
	int k=0;
	for(int i=s;i<=e;i++)
		ans[k++]=a[i];
	ans[k]=0;
	return ans;
}
void isval(int num,char seq[],int basic)//判断某一全排列是否有符合要求的截取方案
{
	int bit1,bit2,fm,fz;//含义见上面解释
	double ans;
	char *s1=new char,*s2=new char;
	bit1=bits(basic);
	bit2=bits(num-basic);
	for(int i=(9-bit1+bit2)/2-1;i<=(9-bit1+bit2)/2;i++)//解释见上面，只截取两次
	{
		fz=atoi(Sub(bit1,bit1+i));
		fm=atoi(Sub(bit1+i+1,8));
		ans=(fz*1.0)/fm;
		if(ans==(double)(num-basic))
			Count++;		
	}
}
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<bits(n);i++)
		if(atoi(Sub(0,i))<n)
			isval(n,a,atoi(Sub(0,i)));
	while(next_permutation(a,a+9))//全排列
       for(int i=0;i<bits(n);i++)
    		if(atoi(Sub(0,i))<n)
			isval(n,a,atoi(Sub(0,i))); 
	cout<<Count<<endl;
	return 0;
}