Programming Challenges 习题7.6.7

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本文详细解析了UVa 10090 Marbles题目，介绍了如何避免整数溢出，使用longlong类型进行运算，并通过优化算法避免超时。文章分享了GCD函数实现及如何利用线性函数特性快速找到最优解。

PC/UVa：110707/10090

Marbles

这道题的数据如果用int或者long可能会溢出，所以要使用long long
第一次超时，是因为在把x和y修正为正数时采用的是一次一次变化的方法，而不是一次乘法直接变为正数
后面超时，是因为又去一次一次的变化x和y去算最小值，这样算起来非常慢，而没法发现这是一个线性函数，极值就在区间端点上

#include <iostream>

using namespace std;

long long GCD(long long a, long long b, long long &x, long long &y)
{
	if (a < b) return GCD(b, a, y, x);
	if (b == 0){
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	long long g = GCD(b, a % b, x, y), tmp;
	tmp = y;
	y = x - a / b * y;
	x = tmp;
	return g;
}

int main()
{
	long long n = 0, c1 = 0, c2 = 0, n1 = 0, n2 = 0;
	while (cin >> n){
		if (n == 0) break;
		cin >> c1 >> n1 >> c2 >> n2;
		long long x, y;
		long long g = GCD(n1, n2, x, y);
		long long lcm = n1 / g * n2;
		long long m1 = lcm / n1, m2 = lcm / n2, multiple;
		if (n % g == 0){
			/*
			n1 * x + n2 * y = gcd(n1, n2)
			x增加m1 = lcm(n1, n2) / n1, y同时减少m2 = lcm(n1, n2) / n2
			或者x减少，y增加，等式仍然成立
			*/
			//先将x，y修正为正数
			x *= n / g;
			y *= n / g;
			if (x <= 0){
				multiple = (-x + m1 - 1) / m1;
				x += multiple * m1;
				y -= multiple * m2;
			}
			else{
				multiple = (-y + m2 - 1) / m2;
				x -= multiple * m1;
				y += multiple * m2;
			}
			if (x < 0 || y < 0){
				cout << "failed" << endl;
			}
			else{
				if (c1 * m1 > c2 * m2){
					//此时y取最大值，x取最小值时花费最小
					multiple = x / m1;
					x -= multiple * m1;
					y += multiple * m2;
					cout << x << ' ' << y << endl;
				}
				else{
					//此时n1取最大值，n2取最小值时花费最小
					multiple = y / m2;
					x += multiple * m1;
					y -= multiple * m2;
					cout << x << ' ' << y << endl;
				}
			}
		}
		else{
			cout << "failed" << endl;
		}
	}
	return 0;
}
/*
43
1 3
2 4
40
5 9
5 12
0
*/