字符串问题总结

1、最长公共子序列问题（LCS问题）
给定两个字符串A和B，长度分别为m和n，要求找出它们最长的公共子序列，并返回其长度。例如：
A = “HelloWorld”
B = “loop”
则A与B的最长公共子序列为"loo"，返回长度为3。
动态规划解法：
定义子问题：
dp[i][j]为字符串A的第一个字符到第i个字符串和字符串B的的第一个字符到第j个字符的最长公共子序列，如A为“app”,B为“apple”，dp[2][3]表示“ap”和“app”的最长公共子串。注意到代码中dp的大小为（n+1）x（m+1）,这多出来的一行和一列是第0行和第0列。
初始条件：
“”和任意字符串的都为0，所以dp[i][0]和dp[0][j]都为0。
状态方程：

代码如下：

int findLCS(string str1, string str2) {
	int m = str1.size(), n = str2.size();
	vector<vector<int> > dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
	for (int i = 0; i <= m; i++) {
		dp[i][0] = 0;
	}
	for (int j = 0; j <= n; j++) {
		dp[0][j] = 0;
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			if (str1[i] == str2[j]) {
				dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]+1;
			}
			else {
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
			}
		}
	}
	return dp[m][n];
}

2、最长公共子串问题
给定两个字符串A和B，长度分别为m和n，要求找出它们最长的公共子串，并返回其长度。例如：
A = “HelloWorld”
B = “loop”
子问题：
定义dp[i][j]表示以A中第i个字符结尾的子串和B中第j个字符结尾的子串的的最大公共子串(公共子串实际上指的是这两个子串的所有部分)的长度(要注意这里和LCS的不同，LCS中的dp[i+1][j+1]一定是大于等于dp[i][j]的；但最长公共子串问题就不一定了，它的dp[i][j]表示的子串不一定是以A[0]开头B[0]开头的，但是一定是以A[i-1]、B[j-1]结尾的)，同样地， dp 的大小也为 (n + 1) x (m + 1) ，这多出来的一行和一列是第 0 行和第 0 列，初始化为 0，表示空字符串和另一字符串的子串的最长公共子串。
边界：
当我们要求dp[i][j]，我们要先判断A的第i个元素B的第j个元素是否相同即判断A[i - 1]和 B[j -1]是否相同，如果相同它就是dp[i - 1][j- 1] + 1，相当于在两个字符串都去掉一个字符时的最长公共子串再加 1；否则最长公共子串取0。所以整个问题的初始状态为：

状态转移方程：

int findLong(string str1, string str2) {
	int m = str1.size(), n = str2.size();
	vector<vector<int> > dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
	for (int i = 0; i <= m; i++) {
		dp[i][0] = 0;
	}
	for (int j = 0; j <= n; j++) {
		dp[0][j] = 0;
	}
	int maxLong = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			if (str1[i] == str2[j]) {
				dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
			}
			else {
				dp[i][j] = 0;
			}
			maxLong = max(maxLong, dp[i][j]);
		}
	}
	return maxLong;
}