动态规划--（01背包 poj3624 ）

关于背包问题：

众所皆知，这里讲给出关于背包问题的一些简介：

一个旅行者准备随身携带一个背包. 可以放入背包的物品有n 种, 每种物品的重量和价值分别为 wj , vj . 如果背包的最大重量限制是 b, 怎样选择放入背包的物品以使得背包的价值最大? 

题目就是这么简单：

先思考一个问题：就是每种物品可以重复选择，这种要怎么解决：

Fk(y):装前 k 种物品, 总重不超过 y, 背包的最大价值；

这里的子问题：很好理解，想一想，每一次你要去拿物品，你会想，

如果，只拿一个物品并且包包还能装下的最大价值是多少；

如果，要拿两个物品并且包包能装下的最大价值是多少；

。。。

然而，如果不用动态规划:   每一次，多拿一个物品，就要从第一个物品（前提是包包能装下）去开始拿，，，，你不觉得，这是在做无用功吗？

这个时候动态规划就来了，可以做一个备忘录，记录前面你已经拿过的价值，到某一个物品的时候就可以直接将前面存储的最大价值拿来用；

其实说是这么说，真正的去理解递推公式，还是有一点难的：

v1=1, v2=3, v3=5,v4=9,

w1 =2, w2 =3, w3 =4, w4 =7,

b = 10
Fk(y) 的计算表如下:（利用递推的公式：Fk ( y) = max{Fk −1 ( y), Fk ( y − wk ) + vk } ）

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#define MM 12882

using namespace std;

#define NUM 100
int main11()//同一个物品物品可以多次选择；
{
    int V[NUM],W[NUM];//表示每个物品的价值和大小；
    int dp[2][MM];
    int N,M;//物品数；和最大重量；
    cin>>N>>M;
    for(int i = 1;i<=N;i++){
        cin>>W[i]>>V[i];
    }

    memset(dp,0, sizeof(dp));



    for(int i = 1;i<=N;i++){
        for(int j = 1;j<=M;j++){
            if(j-W[i]>=0)
                dp[i%2][j] = max(dp[(i-1)%2][j],dp[i%2][j-W[i]]+V[i]);
            else{
                dp[i%2][j] = dp[(i-1)%2][j];
            }
        }

//        for(int j = 0;j<=M;j++)
//            cout <<dp[i%2][j]<<" ";
//        cout <<endl;
    }

    cout <<dp[N%2][M]<<endl;
    return 0;
}

//4 10
//2 1
//3 3
//4 5
//7 9

然而：如果是物品不能重复选择的：

递推方程：Fk ( y) = max{Fk −1 ( y), Fk-1 ( y − wk ) + vk}

思路和上面的一模一样；poj3624

//4 6
//1 4
//2 6
//3 12
//2 7


#include <iostream>
#include <cstring>

#define NN 3204
#define MM 12882

using namespace std;
int main()//同物品不能重选;
{
    int W[NN],V[NN];
    int N,M;
    cin >>N>>M;
    for(int i = 1 ;i<=N;i++)
        cin>>W[i]>>V[i];
        //输如数据；



    int dp[2][MM];
    memset(dp, 0, sizeof(dp));

    for(int i = 1;i<=N;i++){
        for(int j = 1;j<=M;j++){
            if(j-W[i]>=0)
                dp[i%2][j] = max(dp[(i-1)%2][j],dp[(i-1)%2][j-W[i]]+V[i]);
            else
                dp[i%2][j] =dp[(i-1)%2][j];
        }
    }

    cout << dp[N%2][M]<<endl;
    return 0;
}