矩阵快速幂模板

本文介绍了一个C++程序,使用矩阵类实现矩阵乘法和快速幂算法。重点讲解了Mat类的定义、Matmul函数用于矩阵乘法以及Matqp函数进行矩阵快速幂运算。通过实例展示了如何计算矩阵的幂,并在给定输入下计算特定结果。

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#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define ll long long
using namespace std; 
const ll mod = 1e9 + 7;
struct Mat{
	int r,c;  //r是竖着的,c是横着的
    ll m[5][5];
    void clear(){
        for(int i=1;i<=r;i++)memset(m[i],0,sizeof(m[i]));
    }    
};
Mat Matmul(Mat &x,Mat &y,ll c){
    Mat ans;
    ans.r=x.r;
    ans.c=y.c;
    for(int i=1;i<=ans.r;i++){
        for(int j=1;j<=ans.c;j++){
			ll t=0;
            for(int k=1;k<=x.c;k++){
                t=(t+(x.m[i][k]*y.m[k][j])%c)%c;
            }
            ans.m[i][j]=t;
        }
    }
    return ans;
}

Mat Matqp(Mat &a,ll n,ll c){
    Mat ans,tmp=a;
    ans.r=ans.c=a.r;
    memset(ans.m,0,sizeof(ans.m));
    for(int i=1;i<=ans.r;i++){
        ans.m[i][i]=1;
    }
    while(n){
        if(n&1)ans=Matmul(ans,tmp,c);
        n>>=1;
        tmp=Matmul(tmp,tmp,c);
    }
    return ans;
}

ll qp(ll a,ll b,ll c){
    ll ans = 1;
    ll base = a%c;
    while(b){
        if(b & 1) ans = (ans*base)%c;
        base = (base*base)%c;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main(){
	ll x,y,n;
	Mat t;t.r=t.c=2;t.clear();
	t.m[1][1]=0;t.m[1][2]=1;
	t.m[2][1]=1;t.m[2][2]=1;
	Mat a;a.r=2;a.c=1;
	a.m[1][1]=0;
	a.m[2][1]=1;
	while(cin>>x>>y>>n){
		if(n==0) cout<<x<<endl;
		else{
			Mat tmp;
			tmp=Matqp(t,n-1,mod-1);
			tmp=Matmul(tmp,a,mod-1);
			ll ans=qp(x,tmp.m[1][1],mod)*qp(y,tmp.m[2][1],mod)%mod;
			cout<<ans<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

### 矩阵快速幂算法的实现 矩阵快速幂是一种高效的算法,用于计算矩阵的高次幂。它基于分治的思想以及矩阵乘法的结合律来降低时间复杂度。以下是矩阵快速幂的一个通用代码模板: #### Python 实现 ```python import numpy as np def matrix_multiply(A, B, mod=None): """矩阵相乘""" rows_A, cols_A = len(A), len(A[0]) rows_B, cols_B = len(B), len(B[0]) if cols_A != rows_B: raise ValueError("无法进行矩阵乘法") result = [[0 for _ in range(cols_B)] for __ in range(rows_A)] for i in range(rows_A): for j in range(cols_B): temp_sum = 0 for k in range(cols_A): temp_sum += A[i][k] * B[k][j] if mod is not None: temp_sum %= mod result[i][j] = temp_sum return result def matrix_power(matrix, n, mod=None): """矩阵快速幂""" size = len(matrix) identity_matrix = [[int(i == j) for j in range(size)] for i in range(size)] result = identity_matrix base = matrix while n > 0: if n % 2 == 1: result = matrix_multiply(result, base, mod=mod) base = matrix_multiply(base, base, mod=mod) n //= 2 return result ``` 上述代码实现了两个核心函数: - `matrix_multiply`:完成两个矩阵之间的乘法操作,并支持模运算[^1]。 - `matrix_power`:通过快速幂的方式高效地计算矩阵的高次幂。 #### C++ 实现 对于更注重性能的语言如C++,也可以提供类似的实现方式: ```cpp #include <vector> using namespace std; // 定义矩阵大小和取模值 const int MOD = 1e9 + 7; typedef vector<vector<long long>> Matrix; Matrix multiply(const Matrix &A, const Matrix &B){ int r = A.size(), c = B[0].size(); Matrix C(r, vector<long long>(c, 0)); for(int i = 0;i < r;i++) { for(int j = 0;j < c;j++) { for(int k = 0;k < (int)B.size();k++) { C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k]*B[k][j])%MOD; } } } return C; } Matrix power(Matrix base, long long exp){ int sz = base.size(); Matrix res(sz, vector<long long>(sz, 0)); // 单位矩阵初始化 for(int i = 0;i < sz;i++) res[i][i] = 1; while(exp > 0){ if(exp & 1){ // 如果当前指数为奇数 res = multiply(res, base); } base = multiply(base, base); // 平方更新基底 exp >>= 1; // 右移一位相当于除以2 } return res; } ``` 以上代码同样包含了两部分功能: - `multiply` 函数负责执行矩阵间的乘法并处理大整数溢出问题[^4]。 - `power` 函数则采用快速幂的方法加速矩阵幂次的计算。 #### 应用实例——斐波那契数列 假设我们需要使用矩阵快速幂求解第 \(n\) 项斐波那契数列,则可以通过如下构造矩阵来进行计算: \[ M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, V_0 = \begin{bmatrix} F(1)\\ F(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}. \] 那么有 \(\text{{result}} = M^{n-1} \times V_0\) 表示最终的结果向量[^3]。 --- ###
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