【图论】树上启发式合并

树上启发式合并(DSU on Tree)是解决树形结构问题的有效算法,能在O(nlogn)的时间复杂度内完成操作。适用于解决竞赛编程中的特定问题,如cf600E题目。

树上启发式合并(DSU on Tree),是一个在O(nlogn) 时间内解决许多树上问题的有力算法。

cf600E板子

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i=n;i>=a;i--)
#define endl '\n'
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=1e5+5;
int tot,head[maxn];
struct E{
   
   
	int to,next;
}edge[maxn<<1];
void add(int u,int v){
   
   
	edge[tot].to=v;
	edge[tot].next=head[u];
	head[u]=tot++;
}
int col[maxn]
### 树上启发式合并算法及其在计算机科学中的实现 #### 定义与概念 树上启发式合并在数据结构领域中是一种优化技术,主要用于处理涉及动态连通性的图论问题。该方法通过维护森林的形式来表示不相交集合,并支持高效的查找和合并操作。当执行两个节点所属子树的合并时,总是将较小的一棵树连接到较大的一棵树下,从而减少路径长度并提高后续操作效率。 #### 实现细节 为了有效地实施这种策略,在程序设计层面通常会采用如下措施: - **按秩合并**:给每棵子树分配一个等级(rank),初始情况下所有单元素集合作为根节点具有相同的低级rank值;每当发生一次成功的Union动作,则被挂载方(通常是规模更小者)整颗子树整体附加至另一侧作为其孩子结点的同时更新相应父辈的信息以及可能调整新形成的更大范围内的最高层度量标准。 - **路径压缩**:每次FindSet调用过程中顺便把沿途遇到的所有祖先指针都直接指向最终发现的那个代表元,使得未来针对这些成员发起相同请求时能够一步到位而无需再经历冗长遍历过程[^1]。 ```cpp #include <vector> using namespace std; class DisjointSets { private: vector<int> p, rank; public: DisjointSets(int N) { rank.assign(N, 0); p.resize(N); for (int i = 0; i < N; ++i){ p[i] = i; } } int findSet(int u){ // Path compression. return (p[u] == u ? u : (p[u] = findSet(p[u]))); } bool sameSet(int i, int j){ return findSet(i) == findSet(j); } void unionSet(int i, int j){ // Union by rank/size. if (!sameSet(i,j)){ int x = findSet(i), y = findSet(j); if (rank[x] > rank[y]){ p[y] = x; }else{ p[x] = y; if (rank[x] == rank[y]) rank[y]++; } } } }; ``` 上述C++代码片段展示了如何利用向量存储各个顶点对应的parent关系及rank信息,并定义了一系列辅助函数用于判断两节点是否同属一组(`sameSet`)、寻找指定节点所在组别的实际领导者(`findSet`,期间应用了路径压缩技巧)还有就是核心逻辑——按照尺寸大小决定谁归属谁家(`unionSet`)的操作。
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