C++ 一维差分

一维差分

C++中的差分是一种非常实用的算法技巧，主要用于高效处理区间更新操作。

1. 差分的基本概念

差分是前缀和的逆运算，核心思想是：

• 对原数组的区间操作可以转化为对差分数组的单点操作
• 将O(n)的区间更新优化为O(1)的单点更新

（1）差分数组：

首先给定一个原数组a：a[1], a[2], a[3], a[n];

然后我们构造一个数组b ： b[1], b[2], b[3], b[i];

使得 a[i] = b[1] + b[2] + b[3] + , + b[i]

也就是说，a数组是b数组的前缀和数组，反过来我们把b数组叫做a数组的差分数组。换句话说，每一个a[i]都是b数组中从头开始的一段区间和。

（2）考虑如何构造差分b数组？

最为直接的方法
如下：
a[0 ]= 0;
b[1] = a[1] - a[0];
b[2] = a[2] - a[1];
b[3] = a [3] - a[2];
…
b[n] = a[n] - a[n - 1];

（3）知道了差分数组有什么用呢？

//diff差分数组 arr 原数组，也是前缀和数组

话说有这么一个问题：(对差分写法的解释说明)
给定区间[l, r ]，让我们把a数组中的[l, r] 区间中的每一个数都加上c,即 a[l] + c , a[l + 1] + c , a[l + 2] + c , a[r] + c;
暴力做法是for循环l到r区间，时间复杂度O(n)，如果我们需要对原数组执行m次这样的操作，时间复杂度就会变成O(n * m)。有没有更高效的做法吗? 考虑差分做法，(差分数组派上用场了)。

始终要记得，a数组是b数组的前缀和数组，比如对b数组的b[i]的修改，会影响到a数组中从a[i]及往后的每一个数。
首先让差分b数组中的 b[l] + c ,通过前缀和运算，a数组变成 a[l] + c ,a[l + 1] + c, a[n] + c;

然后我们打个补丁，b[r + 1] - c, 通过前缀和运算，a数组变成 a[r + 1] - c,a[r + 2] - c,a[n] - c;

（4）为什么只需要改变起点和终点？？

直观理解：水波效应

想象你在一个平静的湖面（全0数组）上：

初始: [0, 0, 0, 0, 0, 0]
场景1：在位置1扔石头（产生波纹）
diff[1] += 3;// 效果：从位置1开始，后面所有元素都+3
恢复后: [0, 3, 3, 3, 3, 3]

场景2：在位置4设置"抵消点"
diff[1] += 3;
diff[4] -= 3; // 抵消点！// 恢复后: [0, 3, 3, 3, 0, 0]
终点后的抵消让增加效果只在 [1,3] 区间内生效！

逐步演示
我们要实现：[1,3] 区间加2
步骤1：起点加2

步骤2：终点+1处减2（关键！）

完美！