Bell数和Stirling数

Bell数和Stirling数 Bell数，又称为贝尔数。 是以埃里克·坦普尔·贝尔(Eric Temple Bell)为名的。 B(n)是包含n个元素的集合的划分方法的数目。 B(0) = 1, B(1) = 1, B(2) = 2, B(3) = 5,  B(4) = 15, B(5) = 52, B(6) = 203,... 递推公式为， B(0) = 1, B(n+1) = Sum(0,n) C(n,k)B(k). n = 1,2,... 其中，Sum(0,n)表示对k从0到n求和，C(n,k) = n!/[k!(n-k)!] ------------------------- Stirling数，又称为斯特灵数。 在组合数学，Stirling数可指两类数，都是由18世纪数学家James Stirling提出的。 第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是包含n个元素的集合分作k个环排列的方法数目。 递推公式为， S(n,0) = 0, S(1,1) = 1. S(n+1,k) = S(n,k-1) + nS(n,k)。 第二类Stirling数是把包含n个元素的集合划分为正好k个非空子集的方法的数目。 递推公式为， S(n,n) = S(n,1) = 1, S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k). ------------- bell数和stirling数的关系为， 每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和。 B(n) = Sum(1,n) S(n,k). S(n,4)表示把n个有区别的元素分到4个无区别的非空集合里面的方法数 可以用斯递推式解决： S(n,k) = k*S(n-1,k) + S(n-1,k-1)；S(n,1)=1（n≥1），S(n,n)=1。 上面的递推式可以用组合证明：一方面，如果将元素1单独拿出来划分成1个集合，那么方法数是S(n-1,k-1)；另一方面，如果元素1所在的集合不止一个元素，那么可以先将剩下的n-1个元素划分好了以后再选一个集合把1放进去，方法数是k*S(n-1,k)；有加法原理得证。 当然，第二类斯特林数还有一个通式： S(n,k)= /Sigma(j=1 to k) [(-1)^{k-j}*j^{n-1}]/[(j-1)!*(k-j)!]       = 1/k! * /Sigma(j=0 to k) (-1)^{k-j}j^n*C(k,j) 展开就是 S(n,4)=[(4^{n-1}-3^{n-1})-(4^{n-1}-2^{n-1})+(4^{n-1}-1^{n-1})/3]/2   Stirling数满足这样一个递归关系： 证明：考察把n+1个物件分成k个类的全部划分。 （1）对其中的某个划分，第n+1个物体单独分为一类，其他物体组成k-1类。这种划分有种。 （2）对其中的某个划分，前n个物体划分成k个类，第n个物体放到这k个类中的某个，即。 所以，成立。利用这个性质，可以很容易得递归求解S(n,k)。于是得到Stirling三角形如下： 求算第二Stirling三角的算法