BestCoder Round #75 King's Game

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5643

这道题是一个类似于约瑟夫环的问题，但是跳动数每次都+1，小编先给出这道题的官方题解：

King's Game

约瑟夫问题的一个变种，然而题目全部是在唬人，就是一个简单的递推。虽然我知道有人会打表。。。

我们看看裸的约瑟夫是怎么玩的：$n$ 个人，每隔 $k$ 个删除。

由于我们只关心最后一个被删除的人，并不关心最后的过程，所以，我们没有必要也不能够模拟整个过程。我们用递推解决。假设有$n$个人围成环，标号为$[0,n-1]$从$0$开始的好处是取模方便），每数$k$个人杀一个的情况下，最后一个存活的人的编号是$f[n]$。

我们有$f[1]=0$,这不需要解释。

接着考虑一般情况$f[n]$,第一个杀死的人的编号是$k-1$,杀死后只剩下$n-1$个人了，那么我们重新编号！

原来编号为k的现在是$0$号，也就是编号之间相差$3$我们只要知道现在$n-1$个人的情况最后是谁幸存也就知道$n$个人的情况是谁幸存。幸运的是$f[n-1]$已经算出来了那$f[n]$就是在$f[n-1]$的基础上加上一个$k$即可不要忘记总是要取模。

所以递推式子是： f[i] = \begin{cases} & \text{ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } i=1 \ & \text{ (f[i - 1] + k) mod i \ \ \ \ \ \ } other \end{cases}f[i]={​​​​​ 0                      i=1​ (f[i - 1] + k) mod i       other​​

此题只用在原版约瑟夫问题上加一维，由于依次隔 $1,2,3...n-1$ 个人删除，所以用 $f[i][j]$ 表示 $i$ 个人，依次隔 $j,j+1...j+i-1$ 个人的幸存者标号。

根据刚才的重标号法，第一次 $j-1$ 号出局，从 $j$ 开始新的一轮，从 $j+1$ 开始清除，剩余 $i-1$ 个人，也有递推式子：

f[i][j] = \begin{cases} & \text{ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } i=1 \ & \text{ (f[i - 1][j+1] + j) mod i \ \ \ \ \ \ } other \end{cases}f[i][j]={​​​​​ 0                      i=1​ (f[i - 1][j+1] + j) mod i       other​​

答案就是 $f[n][1]+1$（将标号转移到 $[1,n]$），问题轻松解决。

复杂度：预处理 O(n^2)O(n​2​​)，查询 $O(1)$，总复杂度 O(n^2)O(n​2​​)。由于可以滚动数组以及常数太小，所以 $n$ 给了 $5000$（其实是出题人不会别的算法嘿嘿嘿）。

比赛的时候由于太多时间浪费在了手机那倒水题上(小编TT)，这道题并没有怎么看，当时看着觉得是模拟可能会超时，但是又想不出什么方法就没怎么看，下来看到题解的时候也是惊呆了，果然DP是个玄学啊，这东西还能这样递推……(好吧，是小编太辣鸡了)，由于题解写的很清楚了，小编这里就只做一点小小的讲解就好，因为n个人最后留下来的那个人是确定的不会改变的，所以我们并不需要每次都去算一次，预处理打表就可以解决。

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn = 5000+5;
int ans[maxn];
int main()
{
	ans[1] = 1;
	for(int i=2; i<=5000; i++)
	{
		int tmp = 0;
		for(int j=2; j<=i; j++)
		{
			tmp = (tmp+i-j+1) % j;
		}
		ans[i] = tmp+1;
	}
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		int n;
		scanf("%d",&n);
		printf("%d\n",ans[n]);
	}
	return 0;
}